第一章 极限、连续与求极限的方法
文章目录
- 第一章 极限、连续与求极限的方法
- ·求极限的方法概述(约12种):
- 一、极限的概念与性质
- (一)极限的定义
- (二)极限的性质
- (三)两个重要极限
- 二、极限存在性的判别
- (一)极限存在的两个准则
- (二)极限存在的一个充要条件
- (三)证明函数极限不存在的常用方法
- 三、求极限的方法
- (一)利用极限四则运算和幂指数运算法则求极限
- (二)利用函数的连续性求极限
- (三)利用变量替换法与两个重要极限求极限
- (四)利用等价无穷小因子替换求极限
- (五)洛必达
- (六)分别求左右极限
- (七)利用函数极限求数列极限
- (八)利用放缩法
- (九)递归数列极限的求法
- (十)利用导数的定义求极限(见第二章)
- (十一)利用定积分求某些n项式和的极限(见第三章)
- (十二)利用泰勒公式求未定式的极限(见第五章)
- 四、无穷小及其比较
- 五、函数的连续性及其判断
- (一)连续性及其相关概念
- (二)间断点的定义与分类
- (三)判断函数的连续性和间断点的类型
- 六、连续函数的性质
- (一)连续函数的局部保号性质
- (二)有界闭区间上连续函数的性质
- (三)方程式根到存在性——连续介值定理的应用
- 后记:
第一章 极限、连续与求极限的方法
·求极限的方法概述(约12种):
- 利用极限的四则运算与幂指数运算法则
- 利用函数的连续性
- 利用变量替换与两个重要极限
- 利用等价无穷小因子替换
- 利用洛必达法则
- 分别求左右极限
- 数列极限转化为函数极限
- 利用适当放大缩小法
- 对递归数列先证明极限存在(常用到单调有界数列有极限的准则,对于无单调性有界数列还要用其他方法),再利用递推关系求出极限
- 利用导数的定义求极限
- 利用泰勒公式
- 利用定积分求
n
项式和的极限 - 利用拉格朗日中值定理求极限
一、极限的概念与性质
(一)极限的定义
1.1 数列的极限
1.2 函数的极限,趋近无穷时的极限
注:x
与n
趋向∞
的含义不同,前者有正负,后者只有正
1.3 函数的极限,趋近于x0
时的左右极限
(二)极限的性质
1.1 数列极限的不等式性质(两条)
1.2 收敛数列的有界性
1.3 函数极限的不等式性质(两条)
推论:极限的保号性
1.4 存在极限的函数的局部有界性
(三)两个重要极限
二、极限存在性的判别
(一)极限存在的两个准则
1.5 数列夹逼定理
1.6 函数夹逼定理
1.7 单调有界数列必收敛定理
(二)极限存在的一个充要条件
1.8 函数极限存在的充要条件,分段函数在分段点的左右极限相等
1.9 数列极限存在的充要条件,偶数项极限
=
奇数项极限
=
A
<=>
数列极限
=
A
(所有子数列的极限都相等)
(三)证明函数极限不存在的常用方法
方法1:左右极限不相等,(比如含有那三个函数的极限要对正负无穷分别求极限,比如开根号、取绝对值时存在的正负问题)
方法2:xn
、yn
趋近于x0
时f(xn)
、f(yn)
的极限不相等 (例1.4的Ⅰ)
方法3:不存在 + 存在 = 不存在、不存在 × 存在 = 不存在 (运算法则)(例1.4的Ⅱ)
三、求极限的方法
(一)利用极限四则运算和幂指数运算法则求极限
1.10 极限的四则运算法则及其推广
1.11 幂指数函数的极限运算法则及其推广
注:只有 每部分的极限存在才可用四则运算法则
(二)利用函数的连续性求极限
- 代入法
- 一切初等函数在定义域内都连续
(三)利用变量替换法与两个重要极限求极限
主要是1的无穷型极限
注意看变量是否真的趋近于0,有可能变量极限不存在
(四)利用等价无穷小因子替换求极限
记住大概11个等价无穷小
(五)洛必达
洛就完事了
(六)分别求左右极限
要提高警觉,注意有哪些会导致左右不一致的变量
(七)利用函数极限求数列极限
主要是为了利用洛必达法则
(八)利用放缩法
利用夹逼定理
掌握几种放缩手段,对分子分母进行调整,极限不等式,积分的极限,积分不等式等等
(九)递归数列极限的求法
方法1:先证数列收敛,然后去解
方法2:利用两个结论
(十)利用导数的定义求极限(见第二章)
(十一)利用定积分求某些n项式和的极限(见第三章)
(十二)利用泰勒公式求未定式的极限(见第五章)
四、无穷小及其比较
无穷小阶的比较,分式,常用洛必达或者泰勒公式
确定无穷小的阶的方法
方法1:等价无穷小
方法2:待定阶数法
方法3:泰勒公式(见第五章)
方法4:利用无穷小阶的运算性质
五、函数的连续性及其判断
(一)连续性及其相关概念
1.8 连续性的定义((1)~(3)有三个互相等价的定义)
(4)~(6)左连续、右连续、内连续
(二)间断点的定义与分类
1.9 间断点的定义
- 第一类
- 第二类
(三)判断函数的连续性和间断点的类型
- 初等函数
- 连续性运算法则
- 定义
- 分别判断左右连续性
1.14 连续性运算法则 - 两个函数做四则运算
- 两个函数做复合运算
- 反函数连续性
六、连续函数的性质
(一)连续函数的局部保号性质
(二)有界闭区间上连续函数的性质
1.16 有界闭区间上连续函数的有界性
推论:第一类间断点 =>
有界
1.17 有界闭区间上连续函数存在最大、最小值
1.18 连续函数介值定理
推论:连续函数零点存在性定理
注:①推广到开区间;②有界闭区间;③存在一点使得
推论:根据最大值最小值得出函数值域
注:求连续函数值域,就是求连续函数最值
(三)方程式根到存在性——连续介值定理的应用
可用来证明 f(x) = 0
有根
这章常考题型约有十二种
后记:
对于上面的第13条,利用拉格朗日中值定理求极限,例题(法三):
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