高数_第一章_第二节_极限
极限（重难点）
一、考试概要
极限的概念
1）数列的极限
ε 限 制 两 者 的 范 围 ， N 用 来 表 示 数 列 以 后 的 项 部 分 列 极 限 必 须 相 等 才 能 成 为 数 列 极 限 存 在 的 充 要 条 件 \varepsilon 限制两者的范围，N用来表示数列以后的项\\ 部分列极限必须相等才能成为数列极限存在的充要条件\\ ε限制两者的范围，N用来表示数列以后的项部分列极限必须相等才能成为数列极限存在的充要条件
例题：
1）
2）
两个常用结论，用来函数极限也是对的
2）函数的极限
极限的性质
函数极限是x->∞或者是x->特定的值
1)当变量趋向于∞的情况：
tips:
区别于数列极限，数列极限的n因为只能取正整数，所以默认趋向+∞，函数极限可以趋向于正无穷或者负无穷
经典错误
错误原因：
虽然自变量趋向于0，但是无法保证自变量不等于0
类似于：
lim x → 0 sin ( x sin 1 x ) x sin 1 x \lim_{x \to 0} \frac{\sin (x\sin \frac{1}{x} ) }{x\sin \frac{1}{x}} x→0limxsinx1sin(xsinx1)
之所以不存在是因为，分母为0函数没有意义。
但在0点的去心邻域内有很多个分母为0的点。
左右极限
需要用左右极限来求极限的情况
极限的性质
有界性
如何理解：
数列收敛的结果是：当n趋向0的极限存在
根据极限的几何意义，N项以后的所有点都落在a的邻域内，所以N项以后的都有界
在N项之前的项是有限项，有限项一定是有最大值的，所以如果数列收敛，则数列一定有界
有界是数列收敛的必要条件，不充分
函数极限有界性：
2、保号性
因为根据几何意义，数列值会落在极限值的左右两侧，如果极限值是=0，则有可能有的数列值会落在0点左侧，就无法保证xn>=0
3、极限值和无穷小的关系
极限的存在准则
数列极限的存在准则
夹逼比较适合用于：n项和
单调有界准则比较适用于：递推关系
取整函数的基本不等式：
无穷小
无穷小量：
无穷小量就是函数极限为0，当x趋向x0或者x趋向于无穷的时候
无穷小量的比较：
无穷小的性质：
无穷大
无穷大的概念：
常见无穷大量的比较：
无穷大量的性质：
无穷大和无界的关系：
无穷大是N项以后都很大，无界是有很大
无穷大和无穷小的关系：
二、常考题型
题型一、极限的概念性质、存在准则
(概念比较常考选择题)
题型二、求极限
方法一、利用基本极限求极限
方法二、利用等价代换求极限
方法三、利用有理运算法则
举例：
不存在+不存在 = 存在：
lim x → ∞ x + lim x → ∞ − x = 0 存 在 \lim_{x \to \infty} x+\lim_{x \to \infty}-x = 0存在 x→∞limx+x→∞lim−x=0存在
3）
存在 * 不存在 = 存在：
lim x → ∞ x ∗ lim x → ∞ 1 x = 1 存 在 \lim_{x \to \infty} x*\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} = 1存在 x→∞limx∗x→∞limx1=1存在
4）
不存在 * 不存在 = 存在：
lim n → ∞ ( − 1 ) n ∗ lim n → ∞ ( − 1 ) n = 1 存 在 \lim_{n \to \infty} (-1)^{n} * \lim_{n \to \infty} (-1)^{n} = 1存在 n→∞lim(−1)n∗n→∞lim(−1)n=1存在
常用结论：
- 极限的非0因子极限可以先求出来
- 分式极限，分母趋向于0，分子也趋向于0，不可以用反证法的原因是，f(x)极限为0的反证条件是，f(x)极限为非0实数或不存在
方法四、利用洛必达法则求极限
方法五、使用泰勒公式求极限
方法六、利用夹逼定理求极限
方法七、利用单调有界准则求极限
题型三、无穷小量阶的比较
一般就是
0 0 \frac{0}{0} 00
常用方法：
洛必达
等价代换
泰勒公式
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