Dirichlet卷积

莫比乌斯反演的前置知识

定义

设f,gf,gf,g是数论函数，考虑数论函数hhh满足

h(n)=∑d∣nf(d)g(nd)h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})h(n)=d∣n∑f(d)g(dn)

则称hhh为fff和ggg的狄利克雷卷积，记作h=f∗gh=f*gh=f∗g，这里的∗*∗表示卷积。

比如h(6)=f(1)∗g(6)+f(2)∗g(3)+f(3)∗g(2)+f(6)∗g(1)h(6)=f(1)*g(6)+f(2)*g(3)+f(3)*g(2)+f(6)*g(1)h(6)=f(1)∗g(6)+f(2)∗g(3)+f(3)∗g(2)+f(6)∗g(1)

性质

单位函数ϵ\epsilonϵ是狄利克雷卷积的单位元，即对于任意函数fff，有ϵ∗f=f∗ϵ=f\epsilon*f=f*\epsilon=fϵ∗f=f∗ϵ=f。
狄利克雷卷积满足交换律和结合律。
如果f,gf,gf,g都是积性函数，那么f∗gf*gf∗g也是积性函数。

许多关系都可以用狄利克雷卷积来表示。

下面用111来表示取值恒为111的常函数，定义幂函数Idk(n)=nk,Id=Id1\text{Id}_{k}(n)=n^k,\text{Id=Id}_1Idk(n)=nk,Id=Id1。

除数函数的定义可以写为：

σk=1∗Idk\sigma_k=1*\text{Id}_kσk=1∗Idk

欧拉函数的性质可以写为：

Id=φ∗1\text{Id}=\varphi*1Id=φ∗1

计算狄利克雷卷积

设f,gf,gf,g是数论函数，计算fff和ggg的狄利克雷卷积在nnn处的值需要枚举nnn的所有约数。

如果要计算fff和ggg的狄利克雷卷积的前nnn项，可以枚举111到nnn中每个数的倍数，根据调和数的相关结论，这样做的复杂度是O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)。

求函数的逆

狄利克雷卷积有一个性质：对每个f(1)≠0f(1)\neq0f(1)=0的函数fff，都存在一个函数ggg使得 f∗g=ϵf\ast g=\epsilonf∗g=ϵ

那么我们如何求出一个函数的逆呢？

只需要定义：

g(n)=1f(1)([n=1]−∑i∣n,i≠1f(i)g(ni))g(n)=\frac 1{ f(1)}\left([n=1]-\sum\limits_{i\mid n, i\neq1} f(i) g\left(\frac ni\right)\right)g(n)=f(1)1⎝⎛[n=1]−i∣n,i=1∑f(i)g(in)⎠⎞

这样的话

∑i∣nf(i)g(ni)=f(1)g(n)+∑i∣n,i≠1f(i)g(ni)=[n=1]\begin{aligned}&\quad\sum_{i\mid n} f(i) g\left(\frac ni\right)\\&= f(1) g(n)+\sum_{i\mid n,i\neq1} f(i) g\left(\frac ni\right)\\&=[n=1]\end{aligned}i∣n∑f(i)g(in)=f(1)g(n)+i∣n,i=1∑f(i)g(in)=[n=1]

最后一步直接把g(n)g(n)g(n)的定义带进去就好

即

=f(1)∗1f(1)([n=1]−∑i∣n,i≠1f(i)g(ni))+∑i∣n,i≠1f(i)g(ni)= f(1)*\frac{1}{ f(1)}([n = 1] - \sum\limits_{i|n,i\neq1} f(i) g(\frac n i))+ \sum\limits_{i|n,i\neq1} f(i) g(\frac ni)=f(1)∗f(1)1([n=1]−i∣n,i=1∑f(i)g(in))+i∣n,i=1∑f(i)g(in)

例题

P2303 [SDOI2012]Longge的问题

给定正整数nnn，求

∑i=1ngcd(i,n),n≤232\sum_{i=1}^{n}gcd(i,n),n\leq2^{32}i=1∑ngcd(i,n),n≤232

枚举gcd\text{gcd}gcd：

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ \sum_{i=1}^{…

枚举nnn的约数直接求。答案是积性的。

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define int long long
using namespace std;inline int read() {char c = getchar(); int x = 0, f = 1;for ( ; !isdigit(c); c = getchar()) if(c == '-') f = -1; for ( ; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + (c ^ 48);return x * f;
}int n, ans;int euler(int x) {int ans = x, rt = sqrt(x);for (int i = 2; i <= rt; i++) {if (x % i == 0) {ans = ans - ans / i;while (x % i == 0) x /= i;}}if (x > 1) ans = ans - ans / x;return ans;
}signed main() {n = read();int x = sqrt(n);for (int i = 1; i <= x; i++) {if (n % i == 0) {ans += euler(n / i) * i;if (i * i != n) ans += euler(i) * (n / i);}}cout << ans << '\n';return 0;
}