前言

首先感谢 XHM 大佬的悉心指导，我懂得了不少~。
链一下他关于这方面的见解、博客——XHM 的Dirichlet卷积学习小记

一些定义

回归正题，这次我学习了一下狄利克雷卷积方面的知识。
先给一波定义：（这里也感谢 skywalkert大佬的精心讲解）

数论函数的定义

若 f(n)f(n)f(n) 的定义域为 正整数域，值域为复数，即 f:Z+→Cf:Z+→Cf: {\Bbb Z}^+→ {\Bbb C} ，则称 f(n)f(n)f(n) 为 数论函数 。

积性函数的定义

若 f(n)f(n)f(n) 是 数论函数，且 f(1)=1f(1)=1f(1)=1 ，对于互质的正整数 p,qp,qp,q ，有：

f(p⋅q)=f(p)⋅f(q)f(p·q)=f(p)·f(q)

f(p·q)=f(p)·f(q)
则称 f(n)f(n)f(n) 为 积性函数 。

完全积性函数的定义

若 f(n)f(n)f(n) 为 积性函数 ，且对于任意正整数 p,qp,qp,q 都有：

f(p⋅q)=f(p)⋅f(q)f(p·q)=f(p)·f(q)

f(p·q)=f(p)·f(q)
则称 f(n)f(n)f(n) 为 完全积性函数 。

狄利克雷卷积的定义

定义 数论函数 fff 和 g" role="presentation" style="position: relative;">ggg 的 狄利克雷卷积 为 hhh ，则：

h(n)=∑d|nf(d)·g(nd)" role="presentation">h(n)=∑d|nf(d)⋅g(nd)h(n)=∑d|nf(d)·g(nd)

h(n)=\sum_{d|n}{f(d)·g(\frac{n}{d})}
记作：h=f∗gh=f∗gh=f*g 。

一些性质

DirichletDirichletDirichlet 卷积满足交换律、结合律，对加法满足分配律（如：(f+g)∗h=f∗h+g∗h(f+g)∗h=f∗h+g∗h(f+g)*h=f*h+g*h）。
两个 积性函数 的 狄利克雷卷积 依旧为 积性函数 。

一些常见的数论函数

常值函数：n(i)=nn(i)=nn(i)=n （就是总是返回一个固定值的函数）。

一些常见的积性函数

单位元函数：e(n)=[n=1]e(n)=[n=1]e(n)=[n=1] ，它卷上任意的数论函数仍为原数论函数，既满足：

f∗e=f=e∗ff∗e=f=e∗f

f*e=f=e*f
幂函数：idk(n)=nkidk(n)=nkid^k(n)=n^k ，完全积性。
恒等函数：I(n)=1I(n)=1I(n)=1 （也是常值函数，只是比较特殊），完全积性，相当于 id0id0id^0。
单位函数：id(n)=nid(n)=nid(n)=n ，完全积性，相当于 id1id1id^1。
莫比乌斯函数 μ(n)μ(n)μ(n) ，在狄利克雷卷积的乘法中与 恒等函数I(n)=1I(n)=1I(n)=1 互为逆元，即有：

μ∗I=eμ∗I=e

μ*I=e
且 μ(1)=1μ(1)=1μ(1)=1，对于无平方因子数 n=∏ti=1pin=∏i=1tpin=∏^t_{i=1}pi 有 μ(n)=(−1)tμ(n)=(−1)tμ(n)=(−1)^t ，
对于有平方因子数 nnn 有 μ(n)=0" role="presentation" style="position: relative;">μ(n)=0μ(n)=0μ(n)=0 。
欧拉函数：φ(n)=∑ni=1[(n,i)=1]⋅1φ(n)=∑i=1n[(n,i)=1]⋅1φ(n)=\sum^n_{i=1}[(n,i)=1]⋅1 ，表示小于等于 nnn 与 n" role="presentation" style="position: relative;">nnn 互质的数的个数。
另外有： ∑ni=1[(n,i)=1]⋅i=n⋅φ(n)+[n=1]2∑i=1n[(n,i)=1]⋅i=n⋅φ(n)+[n=1]2\sum^n_{i=1}[(n,i)=1]⋅i=\frac{n⋅φ(n)+[n=1]}{2} ，且对于正整数 n>2n>2n>2 来说 φ(n)φ(n)φ(n) 是偶数。
除数函数： σk(n)=∑d|ndkσk(n)=∑d|ndkσ_k(n)=\sum_{d|n}d^k ，表示 nnn 的约数的 k" role="presentation" style="position: relative;">kkk 次幂和，注意 σk(n)σk(n)σ_k(n) 与 σk(n)σk(n)σ^k(n) 是不同的。
约数和函数：σ(n)=σ1(n)=∑d|ndσ(n)=σ1(n)=∑d|ndσ(n)=σ_1(n)=\sum_{d|n}d ，表示 nnn 的约数之和（∑）。
约数个数函数： τ(n)=σ0(n)=∑d|n1" role="presentation" style="position: relative;">τ(n)=σ0(n)=∑d|n1τ(n)=σ0(n)=∑d|n1τ(n)=σ_0(n)=\sum_{d|n}1 ，表示 nnn 的约数个数，一般也写为 d(n)" role="presentation" style="position: relative;">d(n)d(n)d(n) 。

一些常用的狄利克雷卷积

说在前面，因为：∑d|nμ(d)=[n=1]∑d|nμ(d)=[n=1]\sum_{d|n}μ(d)=[n=1] ，有①：I∗μ=eI∗μ=eI∗μ=e （即 III 和 μ" role="presentation" style="position: relative;">μμμ 互为逆元）。
怎么证明呢？考虑有值（非零）的 μ(n)μ(n)μ(n) 对答案的贡献。
当 n=1n=1n=1 时，即 μ(1)=1μ(1)=1μ(1)=1 ，此时 (I∗μ)(1)=I(1)⋅μ(1)=1=e(1)(I∗μ)(1)=I(1)·μ(1)=1=e(1)(I*μ)(1)=I(1)·μ(1)=1=e(1) 。
而当 n>1n>1n>1 时，令 n=∏ki=1Pin=∏i=1kPin=∏^k_{i=1}P_i ，其中 PiPiP_i 为互不相同的质数。
此时：

∑i=0kμ(i)⋅Cik=∑i=0kμ(i)⋅Cik⋅I(k−i)∑i=0kμ(i)·Cki=∑i=0kμ(i)·Cki·I(k−i)

\sum_{i=0}^kμ(i)·C_k^i=\sum_{i=0}^kμ(i)·C_k^i·I(k-i)

=∑i=0k(−1)i⋅Cik⋅1k−i=∑i=0k(−1)i·Cki·1k−i

=\sum_{i=0}^k(-1)^i·C_k^i·1^{k-i}

=(1−1)k=0 (二项式定理)=(1−1)k=0(二项式定理)

=(1-1)^k=0\ (二项式定理)
所以 n>1n>1n>1 后面的值之和为零，则命题 I∗μ=eI∗μ=eI∗μ=e 得证。
②：μ∗id=φμ∗id=φμ∗id=φ ，将欧拉函数的通式展开即可得到此式。
③：I∗id=σI∗id=σI*id=σ ，证明如下：

(I∗id)(n)=∑d|nid(d)∗I(nd)(I∗id)(n)=∑d|nid(d)∗I(nd)

(I*id)(n)=\sum_{d|n}id(d)*I(\frac{n}{d})

=∑d|nd⋅1=σ(n)=∑d|nd·1=σ(n)

=\sum_{d|n}d·1=σ(n)
④：I∗I=τI∗I=τI∗I=τ ，证明跟上面同理。
以上①②③④都是非常常用的狄利克雷卷积。

莫比乌斯反演

而且我们也能够通过简单的狄利克雷卷积运算轻易地证出莫比乌斯反演。
设 F(n)=∑d|nf(d)F(n)=∑d|nf(d)F(n)=\sum_{d|n}f(d) ，补上一项：F(n)=∑d|nf(d)∗I(nd)F(n)=∑d|nf(d)∗I(nd)F(n)=\sum_{d|n}f(d)*I(\frac{n}{d}) （等价）
则有：F=I∗fF=I∗fF=I*f ，两边同时卷上 μμμ ，即：μ∗F=μ∗I∗f" role="presentation" style="position: relative;">μ∗F=μ∗I∗fμ∗F=μ∗I∗fμ*F=μ*I*f
由于①：μ∗I=eμ∗I=eμ*I=e ，单位元函数可以直接抹去，那就相当于：f=μ∗Ff=μ∗Ff=μ*F
于是得证：

f(d)=∑d|nμ(d)⋅F(nd)f(d)=∑d|nμ(d)·F(nd)

f(d)=\sum_{d|n}μ(d)·F(\frac{n}{d})

几个结论

结论①：n=∑d|nφ(d)n=∑d|nφ(d)n=\sum_{d|n}φ(d) ，证明：

id=id∗e=id∗(μ∗I)=(id∗μ)∗I=φ∗Iid=id∗e=id∗(μ∗I)=(id∗μ)∗I=φ∗I

id=id*e=id*(μ*I)=(id*μ)*I=φ*I
则：

n=id(n)=∑d|nφ(d)∗I(nd)=∑d|nφ(d)n=id(n)=∑d|nφ(d)∗I(nd)=∑d|nφ(d)

n=id(n)=\sum_{d|n}φ(d)*I(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}φ(d)
结论②：σ(n)=∑d|nτ(d)∗φ(nd)σ(n)=∑d|nτ(d)∗φ(nd)σ(n)=\sum_{d|n}τ(d)∗φ(\frac{n}{d}) ，证明：

σ=σ∗e=(I∗id)∗(I∗μ)=(I∗I)∗(id∗μ)=τ∗φσ=σ∗e=(I∗id)∗(I∗μ)=(I∗I)∗(id∗μ)=τ∗φ

σ=σ*e=(I*id)*(I*μ)=(I*I)*(id*μ)=τ*φ

二项式反演

由 Ai=∑ij=0Cji⋅BjAi=∑j=0iCij·BjA_i=\sum_{j=0}^iC_i^j·B_j ，反演得：Bi=∑ij=0(−1)j⋅Cji⋅AjBi=∑j=0i(−1)j·Cij·AjB_i=\sum_{j=0}^i(-1)^j·C_i^j·A_j

总结

狄利克雷卷积让我们开阔了不少眼界，也让我们做题的思路打开了很多。
如结合杜教筛、拉格朗日插值法、莫比乌斯反演等算法可以更轻易地攻克更多题目。

积性函数与Dirichlet卷积学习小记相关推荐

【原创】积性函数和狄利克雷卷积学习笔记未完成
Index 狄利克雷卷积和积性函数〇.说在前面一.一些定义 1.数论函数 2.积性函数与完全积性函数 (1)定义 (2)举例 ①(普通)积性函数 ②完全积性函数 (3)性质二.狄利克雷卷积 1. ...
狄利克雷卷积_积性函数和狄利克雷卷积小结
1.积性函数:对于函数$f(n)$,若满足对任意互质的数字a,b,a*b=n且$f(n)=f(a)f(b)$,那么称函数f为积性函数.显然f(1)=1. 2.狄利克雷卷积:对于函数f,g,定义它们的卷 ...
（数论一）积性函数与狄利克雷卷积
今天做的一道题就是有关积性函数与狄利克雷卷积的,很懵逼.觉得有必要学一手了一. 积性函数是什么呢? 对于函数f,对于任意的a,b互质,都有: f(a * b) = f(a) * f(b) ...
Dirichlet卷积学习小记
定义定义数论函数fff和g" role="presentation" style="position: relative;">ggg的狄利克雷 ...
积性函数、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演
狄利克雷卷积定义: f∗g(n)=∑d∣nf(d)g(nd)f*g(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac nd)f∗g(n)=d∣n∑f(d)g(dn) 计算的时候可以把枚举约数转换 ...
专题·莫比乌斯函数与欧拉函数【including 整除分块，积性函数，狄利克雷卷积，欧拉函数，莫比乌斯函数，莫比乌斯反演
初见安~又是好久没写博客了--加上CSP才炸了一波. 目录一.整除分块题解二.积性函数三.狄利克雷卷积四.欧拉函数五.莫比乌斯函数(mu) 六.莫比乌斯反演一.整除分块看个例题:洛谷P ...
【算法讲7：积性函数（下）】⌈ 加性函数 ⌋ 与 ⌈ 积性函数 ⌋ 与 ⌈ 狄利克雷卷积 ⌋ 详细介绍
[算法讲7:积性函数(下)] 前置补充 ⌈\lceil⌈积性函数⌋\rfloor⌋ (乘性函数) 四个最基本的定义关于积性函数的基本性质性质一:f(1) 性质二:积性函数的各种传递性质三:整数 ...
《算法竞赛中的初等数论》（三）正文 0x30 积性函数（ACM / OI / MO）（十五万字符数论书）
整理的算法模板合集: ACM模板点我看算法全家桶系列!!! 实际上是一个全新的精炼模板整合计划写在最前面:本文部分内容来自网上各大博客或是各类图书,由我个人整理,增加些许见解,仅做学习交流使用,无 ...
【学习笔记】积性函数
文章目录概述贝尔级数狄利克雷生成函数黎曼函数导数与积分对数和指数除法线性筛 Powerful Number\text{Powerful Number}Powerful Number 杜 ...

积性函数与Dirichlet卷积学习小记

前言

一些定义

数论函数的定义

积性函数的定义

完全积性函数的定义

狄利克雷卷积的定义

一些性质

一些常见的数论函数

一些常见的积性函数

一些常用的狄利克雷卷积

莫比乌斯反演

几个结论

二项式反演

总结

积性函数与Dirichlet卷积学习小记相关推荐

最新文章

热门文章

积性函数与Dirichlet卷积 学习小记

前言

一些定义

数论函数的定义

积性函数的定义

完全积性函数的定义

狄利克雷卷积的定义

一些性质

一些常见的数论函数

一些常见的积性函数

一些常用的狄利克雷卷积

莫比乌斯反演

几个结论

二项式反演

总结

积性函数与Dirichlet卷积 学习小记相关推荐

最新文章

热门文章

积性函数与Dirichlet卷积学习小记

积性函数与Dirichlet卷积学习小记相关推荐