BZOJ 2190: [SDOI2008]仪仗队

2190: [SDOI2008]仪仗队

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Description

　　作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。　　　　现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

Input

　　共一个数N。

Output

　　共一个数，即C君应看到的学生人数。

Sample Input

Sample Output

HINT

【数据规模和约定】　　对于 100% 的数据，1 ≤ N ≤ 40000

Source

分析：

问题可以转化为求Σ(1<=i<=n) Σ(1<=j<=n) [gcd(i,j)==1]

显然如果存在一个点(i*d,j*d)，那么它一定已经被(i,j)覆盖掉了...

根据Dirichlet卷积：e(i)=1 (if n=1)

0 (else)

e=μ×1，(f×g)(n)=Σ(d|n) f(d)*g(n/d)

我们可以把复杂度从n^2lgn化简为O(n)

Σ(1<=i<=n) Σ(1<=j<=n) [gcd(i,j)==1]

=Σ(1<=i<=n) Σ(1<=j<=n) e(gcd(i,j))

=Σ(1<=i<=n) Σ(1<=j<=n) Σ(d|gcd(i,j)) μ(d)

=Σ(1<=d<=n) μ(d)*(n/d)*(n/d)

代码：

 1 #include<algorithm>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdio>
 5 //by NeighThorn
 6 using namespace std;
 7 //大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
 8
 9 const int maxn=40000+5;
10
11 int n,ans,cnt,miu[maxn],prime[maxn],vis[maxn];
12
13 signed main(void){
14     ans=cnt=0;
15     scanf("%d",&n);miu[1]=1;n--;
16     memset(vis,0,sizeof(vis));
17     for(int i=2;i<=n;i++){
18         if(!vis[i])
19             prime[++cnt]=i,miu[i]=-1;
20         for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=n;j++){
21             vis[i*prime[j]]=1,miu[i*prime[j]]=-miu[i];
22             if(i%prime[j]==0){
23                 miu[i*prime[j]]=0;break;
24             }
25         }
26     }
27     for(int i=1;i<=n;i++)
28         ans+=miu[i]*(n/i)*(n/i);
29     printf("%d\n",ans+2);
30     return 0;
31 }

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by NeighThorn

转载于:https://www.cnblogs.com/neighthorn/p/6214769.html