Dirichlet卷积学习小记

定义

定义数论函数fff和g" role="presentation" style="position: relative;">ggg的狄利克雷卷积为hhh，则h(n)=∑d|nf(d)∗g(nd)" role="presentation" style="position: relative;">h(n)=∑d|nf(d)∗g(nd)h(n)=∑d|nf(d)∗g(nd)h(n)=\sum_{d|n}f(d)*g({n\over d})，记作h=f∗gh=f∗gh=f*g。

一些性质

DirichletDirichletDirichlet卷积满足交换律，结合律，对加法满足分配律
两个积性函数的狄利克雷卷积依旧为积性函数。（证明比较显然，这就不写了）

一些常见的数论函数

1(i)=1,n(i)=n1(i)=1,n(i)=n1(i)=1,n(i)=n（常数函数）
莫比乌斯函数μμ\mu
欧拉函数φ(i)φ(i)\varphi (i)表示小于等于iii与i" role="presentation" style="position: relative;">iii互质的数的个数。
id(i)=iid(i)=iid(i)=i
σ(i)=∑d|idσ(i)=∑d|id\sigma(i)=\sum_{d|i}d
τ(i)=∑d|i1τ(i)=∑d|i1\tau(i)=\sum_{d|i}1
eee为单位元，它卷上任意的数论函数仍为原数论函数，简单来说，就是e(n)=[n=1]" role="presentation" style="position: relative;">e(n)=[n=1]e(n)=[n=1]e(n)=[n=1]。

一些常用的狄利克雷卷积

(1∗μ)=e(1∗μ)=e(1*\mu)=e，因为∑d|nμ(d)=[n=1]∑d|nμ(d)=[n=1]\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]
μ∗id=φμ∗id=φ\mu*id=\varphi，将欧拉函数的通式展开即可得到此式。
1∗id=σ1∗id=σ1*id=\sigma
1∗1=τ1∗1=τ1*1=\tau

我们能够通过简单的狄利克雷卷积运算轻易地证出莫比乌斯反演
若有F(n)=∑d|nf(d)F(n)=∑d|nf(d)F(n)=\sum_{d|n}f(d)
则有F=1∗fF=1∗fF=1*f，两边同时卷上μμ\mu，可得
μ∗F=μ∗1∗fμ∗F=μ∗1∗f\mu*F=\mu*1*f
又因为1∗μ=e1∗μ=e1*\mu=e，所以
f=μ∗Ff=μ∗Ff=\mu*F
即f(n)=∑d|nμ(d)∗F(nd)f(n)=∑d|nμ(d)∗F(nd)f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)*F({n\over d})

我们甚至可以弄出一些很棒的东西，比如说
id=id∗e=id∗μ∗1=φ∗1id=id∗e=id∗μ∗1=φ∗1id=id*e=id*\mu*1=\varphi*1
n=id(n)=∑d|nφ(d)n=id(n)=∑d|nφ(d)n=id(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)

σ=1∗id=1∗(1∗φ)=(1∗1)∗φ=τ∗φσ=1∗id=1∗(1∗φ)=(1∗1)∗φ=τ∗φ\sigma=1*id=1*(1*\varphi)=(1*1)*\varphi=\tau*\varphi
σ(n)=∑d|nτ(d)∗φ(nd)σ(n)=∑d|nτ(d)∗φ(nd)\sigma(n)=\sum_{d|n}\tau(d)*\varphi({n \over d})