数值分析实验教程.doc

第二篇数值分析3第1章绪论4112的平方根计算412计算效率探讨5实验题7第2章插值法821拉格朗日插值多项式的存在性822利用拉格朗日插值多项式计算函数值823差商表构造1024利用牛顿插值多项式计算函数值1125龙格现象1226分段线性插值的逼近性1427拉格朗日插值多项式与埃米特插值多项式的比较1628拉格朗日插值多项式与三次样条插值函数的比较18实验题22第3章函数的数值逼近2431伯恩斯坦多项式逼近连续函数的动画演示2432函数的最佳平方逼近多项式2633希尔伯特矩阵的病态性2734多项式拟合模型的选取2835非线性拟合模型的选取29实验题31第4章数值积分3241牛顿科茨公式的数值稳定性3242复化求积思想的动画演示3443自动选取步长的复化梯形求积算法3644龙贝格数表3745龙贝格求积方法39实验题41第5章非线性方程求根4351两分法求方程的根4352定积分中值定理的几何证明4553迭代法的敛散性研究4754艾特肯方法4955牛顿法5056弦截法5157快速弦截法53实验题54第6章常微分方程数值解5661欧拉方法的几何意义5662欧拉方法与改进的欧拉方法的比较5763四阶经典公式5964四阶阿当姆斯预报校正系统6165变步长的龙格库塔方法63实验题66第7章线性方程组求解6871高斯顺序消去法6872高斯列主元消去法7073高斯全主元消去法7274方阵的LU分解7675选方阵列主元的LU分解7876追赶法8077平方根法8278改进的平方根法8479雅可比迭代85710高斯塞德尔迭代88实验题89第二篇数值分析在信息时代，科学技术出现了前所未有的发展，其中数学应用的广泛性和深入性已成为现代科技发展的重要特征。数学与科学计算、理论研究、科学实验并列为科学研究的三大支柱，计算机已成为科学与工程技术等领域不可缺少的工具。因此，在大学数学教育中，应特别注重对实际问题的数学建模，为数学模型求解提供有效的计算算法以及运用计算机进行求解等能力的培养与训练。数值分析是研究各种数学问题求数值解的方法，离散化、递推化是它处理问题的主要手段，误差分析是它研究的核心问题，以计算机和数学软件为工具进行数值计算是它的显著特征。MATLAB具有强大的数值计算功能，可以进行数值插值、曲线拟合、数值积分、非线性方程求根、线性方程组求解、微分方程求数值解等运算。本篇主要给出了数值分析涉及到数学实验，这些实验的编程思想和MATLAB程序代码。通过本篇的学习，能对数值分析中主要概念、主要数值算法有更进一步的认识，更好地掌握MATLAB编程，并学会利用MATLAB解决科学计算的问题。第1章绪论112的平方根计算实验用例用递推算法0120,12NNXX求的近似值，并回答下述问题21的有效数字是几位；3X2的有效数字的位数是否为的2倍若是，这是否表明该算法具有较高的计算效率；43X3若近似值的误差精度要求为，编程计算的近似值。8102实验步骤及说明1在MATLAB命令空间键入ATLONG，按下ENTER键，设置数值格式为实长型。2键入SQRT2并按下ENTER，可得到具有较高精度的近似值，我们假定该值为的精22确值，其值为141421356237310。3键入X2，按下ENTER键，再键入XX2/X/2，再按下ENTER键，得到第1次递推值X1；按下↑键，调出表达式XX2/X/2，按下ENTER键，得到第2次递推值X2；再按下↑键，调出表达式XX2/X/2，再按下ENTER键，得到第3次递推值X3。将该值与的精确值作比较，可知X具有6位有效数字。4继续按下↑键，调出表达式XX2/X/2，并按下ENTER键，得到第4次递推值X4。将该值与的精确值进行比较，可知X4具有12位有效数字。2这表明，第4次递推值的有效数字的位数比第3次递推值的有效数字的位数增加3X了2倍，该算法确实具有较高的计算效率。为了解决实验中的第3个问题，我们需要编写MATLAB程序。编程思想1从数学上可以证明，序列单调下降趋向于。与的误差，可以NX2NXNX2Ε的任意ERR值都可以作为初值。程序代码EPS108误差精度ERR1初始误差X12递推初值WHILEERREPSX2X12/X1/2递推ERRABSX2X1误差计算X1X2准备下一次的递推初值ENDFPRINTF 2的平方根的近似值为108F\N ,X1输出近似值运行结果2的平方根的近似值为14142135612计算效率探讨实验用例利用函数展开式111LNXNX可得到计算LN2的级数L23456利用函数展开式11LNXXX可得到计算LN2的另一个级数246L2235371给出(1)式前15项的部分和，(2)式前3项的部分和，指出计算结果作为的近似2LN值，各含几位有效数字，哪一个更好；2再计算(2)式前4项，前5项的值，每增加求和表达式中的一项，其近似值的有效数字就增加一位；3用级数计算近似值收敛缓慢的原因是，求和算式113N2LN中出现了正负项交错，使得部分和数列在附近左右跳动，试通过编程验证这一现象。L实验步骤及说明1在MATLAB命令空间键入ATLONG，按下ENTER键，设置数值格式为实长型。键入LOG2并按下ENTER，可得到LN2的近似值约为069314718055995。2键入S111/21/31/41/51/61/71/81/91/101/111/121/131/141/15，按下ENTER键，得到S1072537185037185，该值具有0位有效数字。3键入S22/311/32/31/34/5，按下ENTER键，得到S2069300411522634，该值具有3位有效数字。由此可见，(2)式要比(1)更好。4键入S32/311/32/31/34/51/36/7，得到S3069313475733229，该值具有4位有效数字。S42/311/32/31/34/51/36/71/38/9，得到S4069314604739083,该值具有5位有效数字。编程思想1输入部分和的项数N，并将部分和存入数组S1,S2,,SN，其部分和的算法如下(1)T←1，S1←1(2)对于K2,3,,N，做以下操作①T←1T②SK←SK1T/K(3)输出SN2作数组S1,S2,,SN以及YLN2的图像。程序代码CLOSE关闭所有图形窗口CLEARALL清除命令空间中所有变量N 请输入部分和的项数N T1符号变量初始化S11部分和数列第1项FORK21NT1T符号交错SKSK1T/K部分和计算ENDFPRINTF 计算得到的近似值S4D109F\N ,N,SN输出近似值HOLDONK11NPLOTK,S, B 作部分和数列图像PLOT1,N,LOG2,LOG2, R 作YLN2的图像HOLDOFF运行结果请输入部分和数列的项数N100计算得到的近似值S1000688172179部分和数列的折线图如图11所示。图11部分和数列折线图实验题1编写秦九韶算法程序，并用该程序计算多项式在自变量5326FXX时的值。1,2X2考虑无穷级数，它是微积分中著名的发散级数。在计算上计算该级数的部分和，1N会