一、实验目的

1． 了解一般非线性方程的求根是比较复杂的事情：要讨论(或知道)它有无实根，有多少实根；知道求近似根常用的几种方法，每种方法的特点是什么。

2． 用通过二分法(区间半分法)、不动点(也Picard)迭代法及Newton迭代(切线)法求其它非线性方程的根，并尽可能估计误差。

二、实验原理

三、实验程序

四、实验内容

1. 用二分法求方程x3-3x-1=0在的所有根.要求每个根的误差小于0.001.

提示与要求: (1) 利用精度找到迭代次数;

(2) 由f(x)=3(x2-1)可取隔根区间[-2,-1].[-1,1].[1,2]);

(3) 用程序求各隔根区间内的根.

2. 用不动点迭代求: (1)x3+2x2+10x-20=0的所有根.

或: (2)9x2-sinx-1=0在[0,1]上的一个根.

3. 用Newton迭代法求解下列之一,准确到10-5:

(1) x3-x-1=0的所有根;

(2) ex+2-x+2cosx-6=0位于[0,2]上的根.

五、实验程序

• 二分法：

文件代码：

function y = f(x)

y=x^3-3*x-1;

end

程序代码：

function Bipart(a0,b0,tol)

%a0为左区间，b0为右区间，tol为区间误差限

a=a0;b=b0;

m=ceil(log((b-a)/tol)/log(2));

for k=1:m

p=(a+b)/2;

if f(p)*f(b)<0

a=p;

else

b=p;

end

end

disp(['经过二分法求得的跟为：x=',num2str((a+b)/2,'%.6f')])

disp(['共经过',num2str(k),'次计算'])

命令窗口：

Bipart(-2,-1, 0.001)

Bipart(-1, 1, 0.001)

Bipart (1,2, 0.001)

运行结果：

• 不动点法：

文件代为：

function y = f(x)

y=9*x^2-sin(x)-1;

end

程序代码：

function Budongdian(x0,tol,m)

%x0为初始值，tol为误差容限，m为最大迭代次数

syms x

F(x)=sqrt(sin(x)+1)/3;

m=m;

text='';

x=[];

x(1)=x0;

for k=1:m

x(k+1)=F(x(k));

if (abs(x(k+1)-x(k))<=tol)==1

text='迭代成功';

disp(text);

disp(['经过不动点迭代法求得的跟为：x=',num2str(x(k+1),'%.7f')]);

disp(['共经过',num2str(k),'次计算'])

break

end

end

if isempty(text)==1

disp('Method failed')

end

命令窗口：

Budongdian(1, 0.00001, 100)

运行结果：

• 牛顿迭代法：

文件代码：

function y = f(x)

y=exp(x)+2^(-x)+2*cos(x)-6;

end

程序代码：

function Newton_gen(x0,tol,m)

%x0为初始值，tol为误差容限，m为最大迭代次数

syms x

F(x)=x-f(x)/diff(f(x));

m=m;

text='';

x=[];

x(1)=x0;

for k=1:m

x(k+1)=F(x(k));

if (abs(x(k+1)-x(k))<=tol)==1

text='迭代成功';

disp(text);

disp(['经过Newton迭代法求得的跟为：x=',num2str(x(k+1),'%.7f')]);

disp(['共经过',num2str(k),'次计算'])

break

end

end

if isempty(text)==1

disp('Method failed')

end

命令窗口：

Newton_ .gen(2, 0.00001, 100)

运行结果：

另解：

• 二分法：

定义函数：

function Bipart_2(a0,b0,tol,Tol)

%a0为左区间，b0为右区间，tol为区间误差限，Tol为f误差限

a=a0;b=b0;

m=ceil(log((b-a)/tol)/log(2));

for k=1:m

p=(a+b)/2;

if f(p)*f(b)<0

a=p;

else

b=p;

end

if abs(f((a+b)/2))

break;

end

end

disp(['经过二分法求得的跟为：x=',num2str((a+b)/2,'%.6f')])

disp(['共经过',num2str(k),'次计算'])

命令窗口：

Bipart. .2(-1, 1,0.001,0.1)

Bipart_ .2(-1, 1, 0.001, 0.000001)

运行结果:

• 不动点法：

定义函数：

function [x,k]=budong(fun,x0,tol,m)

for k=1:m

x=fun(x0);

if abs(x-x0)

break;

end

x0=x;

end

x=vpa(x,8);

function t=fun(x1)

syms x;

f=9*x.*x-sin(x)-1;

s=subs(diff(f,x),x,x1);

x=x1;

f=9*x.*x-sin(x)-1;

t=x-f/s;

命令行窗口输入：

[x,k]=budong(@fun,0.5,1e-5,100)

运行结果：