矩形法求解定积分

做个小笔记，如表述有不对的地方，欢迎指正。

原理

积分在图形上表示就是面积，把被积分区域划分成一个个小矩形，求解这些矩形的面积和即可。

被积函数：f(x)f(x)f(x);

积分区间：[a,b][a,b][a,b];

积分区间划分数：NNN;

每个小矩形的面积：
Si=(b−a)/N∗∣f(a+(b−a)/N∗i)∣Si = (b - a )/ N * |f(a + (b - a )/ N * i)|Si=(b−a)/N∗∣f(a+(b−a)/N∗i)∣

说明：
你可以想象一下，在积分函数图形上，我们把被积分区域划分成NNN等份，

此时每个小矩形的底为：(b−a)/N(b - a )/ N(b−a)/N.

如果N足够大，可以把被积分区域划分成一根根针一样大小的矩形区域。

此时小矩形的底可以看成一个点。在被积分区域内，每个小矩形对应的位置

为：x=a+(b−a)/N∗ix = a + (b - a )/ N * ix=a+(b−a)/N∗i,将其代入f(x)f(x)f(x)即可得到对应小矩形的高。

假设iii为第iii个小矩形 , 则∣f(a+(b−a)/N∗i)∣|f(a + (b - a )/ N * i)|∣f(a+(b−a)/N∗i)∣即为第iii块小矩形的高。

所以计算每个小矩形的面积用如上所述的公式。

f(x)f(x)f(x)如果为cos,sin,expcos,sin,expcos,sin,exp等内置函数可以使用C/C++里面的math库，注意这些函数的传参【如果是角度要转换为弧度传入：角度 / 180 * PI 】

例子

求解定积分：∫01sinxdx\int^{1}_{0}sinxdx∫01sinxdx

根据上述公式写出矩形法求解此定积分的代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;double get_integral_sinx(double a,double b,int N)
{/*积分区间：[a,b] ，值均是弧度积分区间划分数目：N ，越大求得的结果越精细被积分函数：sinx*/double x = (b - a) / N;double ans = 0;for(int i = 1; i <= N; ++i){ans += x * fabs(sin(a + x*i));}return ans;
}
int main()
{double ans = get_integral_sinx(0,1,1000);cout<<ans<<endl;return 0;
}

如果你第一次接触，你难免会对上述做法有点疑虑，怕不可靠。
为了打消你的疑虑，我们结合我们手动求解定积分的方式来一个结果对比验证：

∫01sinxdx=[−cosx]01=1−cos(1)\int^{1}_{0}sinxdx = [-cosx]^{1}_{0} = 1 - cos(1)∫01sinxdx=[−cosx]01=1−cos(1)

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{cout<<(1-cos(1))<<endl;return 0;
}

运行上述两段代码，（运行结果我就不贴了，请自行验证）就可以对比出矩形法求解定积分的可靠性。

其他

我们常常可以使用C/C++里的math库中的一些内置函数来表示我们常用的一些常数。
比如圆周率PIPIPI:
因为cos(PI)=−1.0cos(PI) = -1.0cos(PI)=−1.0,所以有：

const double PI = acos(-1.0);

再如：常数eee,我记得大概是2.7…
exp(x)exp(x)exp(x)函数是用于计算exe^xex,所以有：

const double e = exp(1.0);

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