【原创】更相减损术 stein算法 欧几里得算法 拓展欧几里得算法 扩展欧几里得算法 逆元的计算与筛法 解模线性方程
欧几里得
说在前面
数论学复习 Part 6。
然后再来一章CRT和组合数，就飞往概率，以此为跳板去向DP。
计划很美啊你。
P.S. 这么说来拉格朗日插值可以说是数论学复习的Part 0了啊。
有一个*龙门粗口*的*这就是祖安人打招呼的方式*博主在以前发了一篇*儒雅随和*的博客，也是讲这个的，虽然写的很*祖安粗口*，但证明还是可堪一看的，（反正是借鉴来的）。
为什么我还会记得多年前的我写博客的亚子呢？
更相减损术 辗转相减法
可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。
gcd(a,b)=gcd(b,a−b)gcd(a,b)=gcd(b,a-b)gcd(a,b)=gcd(b,a−b)。
int gcd(int a,int b)
{if(a<b) swap(a,b);return b?gcd(b,a-b):a;
}
再加上“可半者半之”。
int gcd(int a,int b)
{if(a<b) swap(a,b);if(a&1) a>>=1;if(b&1) b>>=1;return b?gcd(b,a-b):a;
}
P.S.更相损减术本来是用来约分的，所以“可半者半之”这句话被狭义理解为分子分母都是偶数时约掉2。而我纯路人，看到可半者半之就直接断章取义了。P.S. 更相损减术本来是用来约分的，所以“可半者半之”这句话被狭义理解为分子分母都是偶数时约掉2。\\ 而我纯路人，看到可半者半之就直接断章取义了。 P.S.更相损减术本来是用来约分的，所以“可半者半之”这句话被狭义理解为分子分母都是偶数时约掉2。而我纯路人，看到可半者半之就直接断章取义了。
这样的话，stein算法和辗转相减法一模一样。(中国数学领先外国1700年！)\xcancel{(中国数学领先外国1700年！)}(中国数学领先外国1700年！)
原理是一个数ddd它整除aaa和bbb的话，它就整除a,ba,ba,b的任意线性组合即d∣pa+qb(p,q∈Z)d\mid pa+qb~~~(p,q\in Z)d∣pa+qb (p,q∈Z)。
证明私以为完全不需要了。
欧几里得算法 辗转相除法
gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
模运算是什么？就是多次反复地减直到减不动。
就是多次调用上一个算法。
正确性就更不用赘述了。
int dcg(int a,int b)
{return b?dcg(b,a%b):a;
}
贝祖（裴蜀）定理
对于任意整数a,ba,ba,b，一定存在整数x,yx,yx,y，使得ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)。
特别的，如果a,ba,ba,b互质，就一定存在整数x,yx,yx,y满足ax+by=1ax+by=1ax+by=1。
设gcd(a,b)=dgcd(a,b)=dgcd(a,b)=d，a=pd,b=qda=pd,b=qda=pd,b=qd，则ax+by=gcd(a,b)⟺px+qy=1ax+by=gcd(a,b)\iff px+qy=1ax+by=gcd(a,b)⟺px+qy=1。易知gcd(p,q)=1gcd(p,q)=1gcd(p,q)=1。
也就是说把所有一般命题转到了“特别的”命题上来。
怎么证明存在性问题？简单啊，给出一组(x,y)(x,y)(x,y)不就好了吗？
原式⟺px≡1modq\iff px\equiv 1\mod q⟺px≡1modq
就是求p关于q的一个逆元，这个逆元的存在性我已经在之前不用贝祖证明出来了（1.1），现在就不再赘述一次。
P.S.换一个等价命题应该会证得舒服点，比如ac≡bcmodp,(c,p)=1→a≡bmodpac\equiv bc\mod p,(c,p)=1\to a\equiv b \mod pac≡bcmodp,(c,p)=1→a≡bmodp。
拓展欧几里得算法
拓展欧几里得算法能够在辗转相除的同时求出一组x,yx,yx,y使得ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)。
怎么在辗转相除的时候求呢？我们要看gcd(b,a%b)gcd(b,a\%b)gcd(b,a%b)是吧？
我们设已经辗转相除求出了bx0+(a%b)y0=gcd(b,a%b)bx_0+(a\%b)y_0=gcd(b,a\%b)bx0+(a%b)y0=gcd(b,a%b)，然后试图用x0,y0x_0,y_0x0,y0递推出x,yx,yx,y。
因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，所以有ax+by=bx0+(a%b)y0ax+by=bx_0+(a\%b)y_0ax+by=bx0+(a%b)y0。设a=kb+ra=kb+ra=kb+r，则原方程⟺(kb+r)x+by=bx0+ry0⟺b(kx+y)+rx=bx0+ry0原方程\iff (kb+r)x+by=bx_0+ry_0\iff b(kx+y)+rx=bx_0+ry_0原方程⟺(kb+r)x+by=bx0+ry0⟺b(kx+y)+rx=bx0+ry0。
然后随便多项式恒等定理一下就得到{kx+y=x0x=y0⇒{x=y0y=x0−ky0=x0−⌊ab⌋y0\begin{cases}kx+y=x_0\\x=y_0\end{cases}\Rarr\begin{cases}x=y_0\\ y=x_0-ky_0=x_0-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_0 \end{cases}{kx+y=x0x=y0⇒{x=y0y=x0−ky0=x0−⌊ba⌋y0。
然后到最后b=0,a=gcdb=0,a=gcdb=0,a=gcd的时候，有xk=1,yk=0x_k=1,y_k=0xk=1,yk=0。
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{if(!b) {x=1,y=0; return a;}int w=exgcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);return w;
}
或者
void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{if(!b) {x=1,y=0,d=a; return ;}exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=x*(a/b);
}
逆元
定义
除法怎么取模？
小数分数怎么取模？整除、整数的概念都没有了，你怎么取模？
那怎么除法呢？
怎么规避小数分数呢？
52=2.5\frac{5}{2}=2.525=2.5的话，5=2∗2.55=2*2.55=2∗2.5。
所以乘法就行了。
我们如果说一个数aaa关于ppp的逆元是a−1a^{-1}a−1的话，就等价于定义xamodp=xa−1modp\frac{x}{a}\mod p=xa^{-1}\mod paxmodp=xa−1modp。
要求a×a−1≡1modpa\times a^{-1}\equiv 1\mod pa×a−1≡1modp。
这个逆元存在的前提上文也有说，a,pa,pa,p要互质。
求法
法一
如果ppp是质数的话，我们就有费马小定理，ap−1≡1modpa^{p-1}\equiv 1\mod pap−1≡1modp。此时aaa的逆元显然就是a×ap−2≡1modpa\times a^{p-2}\equiv 1\mod pa×ap−2≡1modp。
这个东西据说还叫蒙哥马利快速幂模。
法二
另外一种方法就是用exgcd。
exgcd(a,b,&x,&y)得到的x就是a关于b的逆元，y就是b关于a的逆元。
筛法
给一个数p，递推地求逆元，求出一个范围内所有数关于p的逆元。
那么p肯定是质数或者相对是质数了。
现在正在求aaa关于ppp的逆元，设p=ka+rp=ka+rp=ka+r，则有ka+r≡0(modp)ka+r\equiv0 \pmod pka+r≡0(modp)，设aaa的逆元为a−1a^{-1}a−1，rrr的逆元是r−1r^{-1}r−1，在两边同时乘以a−1r−1a^{-1}r^{-1}a−1r−1，则有kr−1+a−1≡0(modp)⟺a−1≡−kr−1≡−⌊pa⌋(pmoda)−1(modp)kr^{-1}+a^{-1}\equiv 0\pmod p\iff a^{-1}\equiv -kr^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{a}\rfloor(p\mod a)^{-1}\pmod pkr−1+a−1≡0(modp)⟺a−1≡−kr−1≡−⌊ap⌋(pmoda)−1(modp)。
inv[0]=inv[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
解模线性方程
ax+by=cax+by=cax+by=c。
首先如果gcd(a,b)∤cgcd(a,b)\nmid cgcd(a,b)∤c的话，肯定无解，因为左边必然是gcd(a,b)gcd(a,b)gcd(a,b)的倍数。
如果gcd(a,b)∣cgcd(a,b)\mid cgcd(a,b)∣c的话，设c=k×gcd(a,b)c=k\times gcd(a,b)c=k×gcd(a,b)，那么我们跑一次扩欧，得到ax0+by0=gcd(a,b)ax_0+by_0=gcd(a,b)ax0+by0=gcd(a,b)的一组解(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)，然后再乘上kkk就搞定了。
{x=kx0y=ky0\begin{cases}x=kx_0\\y=ky_0\end{cases}{x=kx0y=ky0
如果想要求最小正整数解的话，则就(x%p+p)%p(x\%p+p)\%p(x%p+p)%p就是了。
ax≡bmodpax\equiv b \mod pax≡bmodp。
和上面那个差不多。
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