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更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

中文名

更相减损术

别    名

中华更相减损术

类    型

数学算术出    处

《九章算术》

用    途

求最大公约数

原用途

分数的约分

作    用

适用任何需要求最大公约数的场合

更相减损术思想

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《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，原文是：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

白话文译文：

(如果需要对分数进行约分，那么)可以折半的话，就折半(也就是用2来约分)。如果不可以折半的话，那么就比较分母和分子的大小，用大数减去小数，互相减来减去，一直到减数与差相等为止，用这个相等的数字来约分。

更相减损术使用步骤

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第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

其中所说的“等数”，就是公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。

更相减损术实例

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例1、用更相减损术求98与63的最大公约数。

解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公约数等于7。

例2、用更相减损术求260和104的最大公约数。

解：由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。

此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26辗转相减：

65-26=39

39-26=13

26-13=13

所以，260与104的最大公约数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即13*2*2=52。

更相减损术证明

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设gcd(x,y)=d，则满足x=k1*d，y=k2*d，易得k1与k2互质。

情况1：x=y。显然，gcd(x,y)=x=gcd(x,0)=gcd(x,y-x)。

情况2：不妨令x

用反证法。

假设k1,(k2 - k1)不互质，

令gcb(k1.k2-k1) = m(m为正整数且m>1);

k1 = m*a,k2 - k1 = m*b

k2 = (a+b)m

即k1,k2有公约数m，与k1,k2互质矛盾

所以假设不成立

即k1,(k2 - k1)互质

所以gcb(x,x-y) = d = gcb(x,y)

综上，gcd(x,y)=gcd(x,y-x)。

命题得证

当然，此结论可用数学归纳法推广到一般，该性质对多个整数都成立。

即：gcd(x,y,z,...)=gcd(x,y-x,z-y,...)。

直观证明：

对于gcd(x,y,z)=gcd(x,y-x,z-y)：

gcd(x,y,z)=gcd(x,gcd(y,z))=gcd(x,gcd(y,z-y))=gcd(x,y,z-y)=gcd(gcd(x,y),z-y)=gcd(gcd(x,y-x),z-y)=gcd(x,y-x,z-y)。

更多项依次类推。

更相减损术比较

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辗转相除法也可以用来求两个数的最大公约数。

更相减损术和辗转相除法的主要区别在于前者所使用的运算是“减”，后者是“除”。从算法思想上看，两者并没有本质上的区别，但是在计算过程中，如果遇到一个数很大，另一个数比较小的情况，可能要进行很多次减法才能达到一次除法的效果，从而使得算法的时间复杂度退化为O(N)，其中N是原先的两个数中较大的一个。相比之下，辗转相除法的时间复杂度稳定于O(logN)。

更相减损术Stein算法

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更相减损法有点类似于求最大公约数的Stein算法。在更相减损法中，若两个是偶数则同除以2，结果乘以2。如果增加一个判断，若为一奇一偶则偶数除以2，结果不变，若为两个奇数才相减，这样就变成了计算大整数最大公约数的非常好的一个算法，Stein算法。

在上面的实例中，下面是更相减损法与Stein算法的比较，从中可以发现两种算法的相似性。Stein 算法与更相减损术的操作流程

更相减损法：操作甲数乙数甲数乙数

98639863

98-63=35633598是偶数，除以24963

63-35=283528都是奇数，63-49=144914

35-28=728714是偶数，除以2497

28-7=2172149-7=42427

21-7=1471442是偶数，除以2217

14-7=77721-7=14147

7-7=07014是偶数，除以277

7-7=070

更相减损术“可半者半之”

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通常认为，算法描述中的第一步“可半者半之”是指分子分母皆为偶数的时候，首先用2约简。因为更相减损术原先是专用来约分，所以并不用考虑最后计算结果时，要把第一步中约掉的若干个2再乘回去。加入这一步的原因可能是，分母、分子皆为偶数是在分数加减运算的结果中比较容易遇到的一种情况，用这种方法有可能减少数字的位数，简化计算。

当然，省略这个以2约简的步骤，也能得到正确的答案。

更相减损术电脑

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更相减损术Basic

INPUT "m,n=";m,n

i=0

WHILE m MOD 2=0 AND n MOD 2=0

m=m/2

n=n/2

i=i+1

WEND

DO

IF m

r=m

m=n

n=r

END IF

m=m-n

LOOP UNTIL m=0

PRINT “m、n的最大公约数为”;n*2ˆi

END

(i=i+1部分可以省略，因为，不进行约简，一样可以求出)

更相减损术python

# 更相减损法,求最大公约数

def gcf(a, b):

# 减少倍数

reduction = 1

while True:

# 可半者半之

if a % 2 == 0 and b % 2 == 0:

a //= 2

b //= 2

reduction *= 2

else:

# 不可半者

break

while True:

# 副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也

big = max(a, b)

small = min(a, b)

if small * 2 == big:

return small * reduction

else:

a, b = small, big - small

更相减损术C语言

#include

int main()

{

int a,b;

scanf("%d%d",&a,&b);

while(a != b)

{　if(a > b)a -= b;

else　b -= a;

}

printf("m、n的最大公约数为%d",a);

return 0;

}

更相减损术C++

//非递归形式：

#include

using namespace std;

int main()

{

int a,b;

cin>>a>>b;

while(a != b)

{

if(a > b)

a -= b;

else

b -= a;

}

cout<

return 0;

}//递归形式：

#include

using namespace std;

//下面这个gcd函数在正int型内完全通用，返回a,b的最大公因数。

//但是当a,b之间差距较大时(如100000倍)会导致错误(栈过深)

int gcd(int a,int b){

if(a==b)return a;

else if(a>b)a-=b;

else b-=a;

return gcd(a,b);

}

int main(){

int a,b;

cin>>a>>b;

cout<

return 0;

}