C++算法：辗转相除法与更相减损术

辗转相除法与更相减损术

1.我们已经学过求最大公因数的知识，你能求出18与30的公因数吗？

2.如果公因数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公因数，我们又应该怎样求它们的最大公因数？比如求8251与6105的最大公因数？

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辗转相除法：又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公因数的古老有效的算法。

更相减损法：我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的______算法。

名称

辗转相除法

更相减损术

区别

①以除法为主

②两个整数差值较大时运算次数较少

③相除余数为零时得结果

①以减法为主

②两个整数的差值较大时，运算次数较多

③相减，两数相等时得结果

④相减前要做是否都是偶数的判断。

联系

①都是求最大公因数的方法

②都是递归的思想

③都要用循环结构来实现

典型例题：

一.辗转相除法

例1 。求两个正数8251和6105的最大公因数。

（分析：辗转相除→余数为零→得到结果）

解：8251＝6105×1＋2146

显然8251与6105的最大公因数也必是2146的因数，同样6105与2146的公因数也必是8251的因数，所以8251与6105的最大公因数也是6105与2146的最大公因数。

6105＝2146×2＋1813

2146＝1813×1＋333

1813＝333×5＋148

333＝148×2＋37

148＝37×4＋0

则37为8251与6105的最大公因数。

以上我们求最大公因数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。

1．为什么用这个算法能得到两个数的最大公因数？

利用辗转相除法求最大公因数的步骤如下：

第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q₀和一个余数r₀；

第二步：若r₀＝0，则n为m，n的最大公因数；若r₀≠0，则用除数n除以余数r₀得到一个商q₁和一个余数r₁；

第三步：若r₁＝0，则r₁为m，n的最大公因数；若r₁≠0，则用除数r₀除以余数r₁得到一个商q₂和一个余数r₂；

……

依次计算直至r_n＝0，此时所得到的r_n_－1即为所求的最大公因数。

练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公因数。

2。辗转相除法包含重复操作的步骤，因此我们可用__循环_______结构来构造算法，

利用辗转相除法求最大公因数的步骤：

二。更相减损术

我国早期也有解决求最大公因数问题的算法，就是更相减损术。

更相减损术求最大公因数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数因之。

翻译成现代汉语为：

第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，就除以2；若不是，执行第二步。

第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公因数。

例2。用更相减损术求392与252的最大公因数.

解：由于392与252都是偶数，需约简，分别除以4得：98与63

由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35

63－35＝28

35－28＝7

28－7＝21

21－7＝14

14－7＝7

所以，98与63的最大公因数是7。392与252的最大公因数为4*7＝28。

1。用更相减损术能求出两个数的最大公因数的原理是什么？

练习：用更相减损术求两个正数576与246的最大公因数。

比较辗转相除法与更相减损术的区别

（1）都是求最大公因数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到

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