Description

小A得了忧郁综合症，小B正在想办法开导她。
机智的小B决定陪着小A玩游戏，他从魔法的世界里变出一张无向联通图，每条边上都有边权。小B定义一条路径的权值为所有经过边中的最大权值，小A则定义两点的最短路径为所有路径中权值最小的路径权。
每次小A和小B会选出k对点mi_1,mi_2，分别计算出mi_1,mi_2的最短路径ti,然后小B会拿出k堆灵魂宝石，每堆有ti个。然后小A先从一堆中选出若干个灵魂宝石拿走，接下来小B重复同样的操作，如此反复，直到取走最后一颗灵魂宝石，然后取走最后一颗宝石的人获胜。
小B认为这样游戏太简单，于是他会不定期向这张图上加上一些边，以增大游戏难度。
小A具有预知未来的能力，她看到了自己和小B在未来游戏中的选择，以及小B增加的边。现在对于每次游戏，小A想知道自己是否存在必胜的方法。但是预知未来已经消耗了她太多精力，出于疲惫她只好找到了你。

Input

第一行三个数N和M和K，表示这张无向图初始的点数与边数，以及每次询问的点对的个数；
接下来M行，每行三个数u,v,q，表示点u和点v之间存在一条权值为q的
边；
接下来一行一个数Q，表示操作总数；
接下来Q行，表示操作，每行格式为下面两条中的一条：
1.add u v q：表示在u与v之间加上一条边权为q的边；
2.game m1_1 m1_2 … mk_1 mk_2：表示一次游戏中选择的k对点。
数据保证1≤u,v,mi_1,mi_2≤n，1≤q，mi_1≠mi_2

Output

对于每个game输出一行，若小A存在必胜策略，则输出“madoka”，否则输出“Baozika”，以回车结尾

Sample Input

5 6 2
1 2 3
2 3 6
4 2 4
5 3 5
3 4 5
5 1 5
4
game 1 3 4 3
game 1 5 2 4
add 2 5 4
game 1 5 3 4

Sample Output

Baozika
madoka
madoka

Data Constraint

Solution

首先考虑获胜策略。kk 堆石子，每堆石子数量为 aiai 。
A 和 B 玩游戏，轮流从其中某一堆石子中取出若干个石子，最后取完石子的人获胜。
结论：如 a1 xor a2 xor ... xor ak=0a1\ xor\ a2\ xor\ ...\ xor\ ak=0 ，则先手输，否则先手赢，xorxor 表示异或。
证明：若 a1 xor a2 xor ... xor an≠0a1\ xor\ a2\ xor\ ...\ xor\ an≠0 ，则一定可以从其中某堆石子中取出一些石子，
使得剩下的石子数异或结果为 0，若 a1 xor a2 xor ... xor an=0a1\ xor\ a2\ xor\ ...\ xor\ an=0 ，
则进行一次取石子操作后 a1 xor a2 xor ... xor ana1\ xor\ a2\ xor\ ...\ xor\ an 一定不等于 0，
按照这样的操作下去，最后一定会出现 a1=a2= ... =an=0a1=a2=\ ...\ =an=0 的情况。
问题就变成了加边和求路径长。

算法1

看到询问次数很少，考虑 倍增+LCA 。
根据最小生成树的性质，我们发现路径一定在 无向图的最小生成树 上。
每次维护最小生成树，完成询问用树上 LCA 即可。
事实上，加入一条边只有可能改变最小生成树上的一条边。
假设加边为 x,y,zx,y,z，我们可以找到 xx 到 yy 的路径上的最大边权。
若该边权 >z>z ，显然将新边加入更优，否则忽略新边。
再将所有边用 O(N)O(N) 的插入排序排序即可。
套上在线 LCA 算法就可以愉快的 AC 了。
时间复杂度 O(D∗NlogN+(Q−D)∗logN)O(D*NlogN+(Q-D)*logN) ，其中 DD 为加边次数。
注意存边权要开 long longlong\ long 。

算法2

如果加边次数不限呢？直接上 LCT 啊！
用 Link−Cut−TreeLink-Cut-Tree 维护最小生成树即可。
若当前加入的边小于当前树中边权的最大值，则将那个最大的边删去，再连当前边。
维护边权的话可以开一个虚点存边权，再连向两个点即可。
注意开够数组范围。

Code（倍增LCA）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=5002,M=105001;
struct data
{int x,y;LL z;
}a[M];
int tot,num;
int first[N],next[N<<1],en[N<<1];
LL w[N<<1];
int f[N],size[N],fa[N][13],dep[N];
LL g[N][13];
template<typename T>inline T read()
{T X=0,w=0; char ch=0;while(ch<'0' || ch>'9') {w|=ch=='-';ch=getchar();}while(ch>='0' && ch<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();return w?-X:X;
}
inline LL max(LL x,LL y)
{return x>y?x:y;
}
inline bool cmp(data x,data y)
{return x.z<y.z;
}
inline int get(int x)
{return f[x]==x?x:f[x]=get(f[x]);
}
inline bool merge(int x,int y)
{if(get(x)==get(y)) return false;if(size[f[x]]<size[f[y]]) swap(x,y);size[f[x]]+=size[f[y]];f[f[y]]=x;return true;
}
inline void insert(int x,int y,LL z)
{next[++tot]=first[x];first[x]=tot;en[tot]=y;w[tot]=z;
}
inline void dfs(int x)
{dep[x]=dep[fa[x][0]]+1;for(int i=first[x];i;i=next[i])if(en[i]^fa[x][0]){fa[en[i]][0]=x;g[en[i]][0]=w[i];dfs(en[i]);}
}
inline LL lca(int x,int y)
{if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);LL mx=0;for(int i=log2(dep[x]);i>=0;i--)if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]){mx=max(mx,g[x][i]);x=fa[x][i];}if(x==y) return mx;for(int i=log2(dep[x]);i>=0;i--)if(fa[x][i]!=fa[y][i]){mx=max(mx,max(g[x][i],g[y][i]));x=fa[x][i],y=fa[y][i];}mx=max(mx,max(g[x][0],g[y][0]));return mx;
}
int main()
{int n=read<int>(),m=read<int>(),k=read<int>();for(int i=1;i<=m;i++)a[i].x=read<int>(),a[i].y=read<int>(),a[i].z=read<LL>();sort(a+1,a+1+m,cmp);for(int i=1;i<=n;i++) size[f[i]=i]=1;for(int i=1,k=1;i<=m;i++)if(merge(a[i].x,a[i].y)){insert(a[i].x,a[i].y,a[i].z);insert(a[i].y,a[i].x,a[i].z);a[++num]=a[i];if(++k==n) break;}dfs(1);for(int j=1,p=log2(n);j<=p;j++)for(int i=1;i<=n;i++){fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];g[i][j]=max(g[fa[i][j-1]][j-1],g[i][j-1]);}int q=read<int>();while(q--){char ch=getchar();while(ch!='g' && ch!='a') ch=getchar();if(ch=='g'){LL ans=0;for(int i=1;i<=k;i++) ans^=lca(read<int>(),read<int>());if(ans) puts("madoka"); else puts("Baozika");}else{int x=read<int>(),y=read<int>();LL z=read<LL>();if(lca(x,y)<=z) continue;tot=fa[1][0]=0;memset(first,0,sizeof(first));memset(g,0,sizeof(g));//a[++num]=(data){x,y,z};//sort(a+1,a+1+num,cmp);bool pd=true;for(int i=1;i<=num;i++)if(z<=a[i].z){for(int j=++num;j>i;j--) a[j]=a[j-1];a[i]=(data){x,y,z};pd=false;break;}if(pd) a[++num]=(data){x,y,z};for(int i=1;i<=n;i++) size[f[i]=i]=1;num=0;for(int i=1,k=1;i<=n;i++)if(merge(a[i].x,a[i].y)){insert(a[i].x,a[i].y,a[i].z);insert(a[i].y,a[i].x,a[i].z);a[++num]=a[i];if(++k==n) break;}dfs(1);for(int j=1,p=log2(n);j<=p;j++)for(int i=1;i<=n;i++){fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];g[i][j]=max(g[fa[i][j-1]][j-1],g[i][j-1]);}}}return 0;
}

Code（Link-Cut-Tree）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=110005;
struct data
{int x,y;
}a[N];
int tot,top;
int fa[N],s[N][2],mx[N],st[N];
LL key[N];
bool rev[N];
template<typename T>inline T read()
{T X=0,w=0; char ch=0;while(!isdigit(ch)) {w|=ch=='-';ch=getchar();}while(isdigit(ch)) X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();return w?-X:X;
}
inline bool pd(int x)
{return x==s[fa[x]][1];
}
inline bool isroot(int x)
{return s[fa[x]][0]^x && s[fa[x]][1]^x;
}
inline void modify(int x)
{if(x) swap(s[x][0],s[x][1]),rev[x]^=1;
}
inline void update(int x)
{mx[x]=key[mx[s[x][0]]]>key[mx[s[x][1]]]?mx[s[x][0]]:mx[s[x][1]];if(key[x]>key[mx[x]]) mx[x]=x;
}
inline void down(int x)
{if(rev[x]){modify(s[x][0]),modify(s[x][1]);rev[x]=false;}
}
inline void rotate(int x)
{int y=fa[x],w=pd(x);if(s[y][w]=s[x][w^1]) fa[s[x][w^1]]=y;if((fa[x]=fa[y]) && !isroot(y)) s[fa[y]][pd(y)]=x;s[fa[y]=x][w^1]=y;update(y);
}
inline void splay(int x)
{for(int y=st[top=1]=x;!isroot(y);y=fa[y]) st[++top]=fa[y];while(top) down(st[top--]);for(int y;!isroot(x);rotate(x))if(!isroot(y=fa[x])) rotate(pd(x)==pd(y)?y:x);update(x);
}
inline void access(int x)
{for(int y=0;x;x=fa[y=x]) splay(x),s[x][1]=y,update(x);
}
inline void mkroot(int x)
{access(x),splay(x),modify(x);
}
inline void link(int x,int y)
{mkroot(x),fa[x]=y;
}
inline void cut(int x,int y)
{mkroot(x),access(y),splay(y);fa[x]=s[y][0]=0;
}
inline int get(int x)
{access(x),splay(x);int y=x;while(s[y][0]) y=s[y][0];return y;
}
int main()
{int n=tot=read<int>(),m=read<int>(),k=read<int>();for(int i=1;i<=m;i++){int x=read<int>(),y=read<int>();LL z=read<LL>();a[i]=(data){x,y};key[mx[++tot]=tot]=z;if(get(x)^get(y)) link(tot,x),link(tot,y); else{mkroot(x),access(y),splay(y);int del=mx[y];if(z<key[del]){cut(del,a[del-n].x),cut(del,a[del-n].y);link(tot,x),link(tot,y);}}}int q=read<int>();while(q--){char ch=getchar();while(ch^'g' && ch^'d') ch=getchar();if(ch=='g'){LL ans=0;for(int i=1;i<=k;i++){int x=read<int>(),y=read<int>();mkroot(x),access(y),splay(y);ans^=key[mx[y]];}puts(ans?"madoka":"Baozika");}else{int x=read<int>(),y=read<int>();LL z=read<LL>();a[++m]=(data){x,y};key[mx[++tot]=tot]=z;if(get(x)^get(y)) link(tot,x),link(tot,y); else{mkroot(x),access(y),splay(y);int del=mx[y];if(z<key[del]){cut(del,a[del-n].x),cut(del,a[del-n].y);link(tot,x),link(tot,y);}}}}return 0;
}

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