本节内容都是一些定义，实际上我们之前已经接触过了。让我们总结一下：

linear independent 线性独立

给定一组向量 {v1,v2,...,vn}\{\bm{v_1,v_2,...,v_n}\}{v1,v2,...,vn}，若
c1v1+c2v2+...+cnvn=0c_1\bm{v_1}+c_2\bm{v_2}+...+c_n\bm{v_n}=0c1v1+c2v2+...+cnvn=0

仅有零解 c1=c2=...=cn=0c_1=c_2=...=c_n=0c1=c2=...=cn=0, 则我们称 {v1,v2,...,vn}\{\bm{v_1,v_2,...,v_n}\}{v1,v2,...,vn} 线性独立。否则，线性相关。

spanning a space

给定一组向量 {v1,v2,...,vn}\{\bm{v_1,v_2,...,v_n}\}{v1,v2,...,vn}，他们张成（span）的空间即为它们线性组合后的向量构成的空间。

basis

一个vector space的basis是一组满足以下两个条件的向量 {v1,v2,...,vn}\{\bm{v_1,v_2,...,v_n}\}{v1,v2,...,vn}

linear independent.
span the vector space.

换句话说，nnn 是这个空间内最大的线性无关的向量组中向量的个数。

我们经常使用的basis是standard basis, e.g., [1,0,0]⊤,[0,1,0]⊤,[0,0,1]⊤[1,0,0]^\top,[0,1,0]^\top,[0,0,1]^\top[1,0,0]⊤,[0,1,0]⊤,[0,0,1]⊤.

dimension

就是上面的 nnn了，通常写作 dim(V)=n\text{dim}(V)=ndim(V)=n, 其中 VVV 是一个vector space.

over，这节课就是这么简单~~

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linear independent 线性独立

spanning a space

basis

dimension

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