列空间和零空间-线性代数课时6（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang）

这是Strang教授的第六讲，讲解的内容是线性代数里的俩个最重要向量子空间:列空间和零空间，同时还有上节课剩余的一点关于向量空间的问题。1.向量空间和子空间;2.列空间;3.零空间。

1.向量空间和子空间

这里还有一点关于向量空间和子空间的问题。假设有两个向量子空间P和L，回答下面两个问题：1. $P\cup L$ 是向量子空间吗？2. $P\cap L$ 是向量子空间吗？下面直接给出问题的答案：

问题1： $P\cup L$ 不一定是向量子空间，比如L是三维空间中过原点的直线，P是三维空间中过原点的平面，那么P和L都是 $R^{3}$ 的向量子空间，但 $P\cup L$ 却并不一定：如果L在平面P上，那么 $P\cup L=P$ ，是向量子空间；但如果L穿过平面P， $P\cup L$ 就不是向量子空间。

问题2： $P\cap L$ 一定也是向量子空间。

2.列空间

列空间是十分重要的一个向量子空间。举例说明列空间是什么样的子空间，也引出列空间的定义。e.x.:

$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2& 1 & 3\\ 3 &1 & 4\\ 4 & 1 &5 \end{bmatrix}$

列空间的定义:The column space consists of all combinations of the columns. The combinations are all posible vectors $Ax$ .They fill the column space $C(A)$ .

简单说，列空间是对矩阵A的，记作 $C(A)$ ,是由A的列向量所有可能线性组合构成的向量空间。既然 $C(A)$ 是由A的列向量线性组合构成的向量空间，那么上面例子中的 $C(A)$ 是 $R^{4}$ 的一个向量子空间，对于mxn大小的A， $C(A)$ 是属于 $R^{m}$ 的。抽象的定义背后总是存在实际的意义，那么定义列空间的意义何在呢？

还是回到解线性方程组的问题上，上面的矩阵A是某个线性方程组 $Ax=b$ 的系数矩阵。那么我们提出问题：对于所有的右侧向量b，方程组 $Ax=b$ 都有解呢？如果不是，那么什么样的b让方程组有解？

首先，问题1的答案是否定的，以中学就学过，3个未知数，4个方程的方程组不一定有解。用线性代数的知识解释就是:3个列向量的线性组合不能充满整个 $R^{4}$ 。那么什么样的b让方程组有解呢？答案是：

$Ax=b$ 有解，当且仅当b属于A的列空间

这是列空间背后的意义所在，它决定了方程组的解的可能性。

列空间只是向量空间的一个特殊定义，它和其他向量空间本质上并没有什么不同，只是它里面的向量都是源自某个矩阵的列向量。下面说一下在任意向量空间V中产生子向量空间的方法（视频中未讲）：

假设S是向量空间V中的一组向量，我们可以得到V的子空间SS，SS = S所有线性组合。

3.零空间

定义：

The nullspace of A consists of all solutions to $Ax=0$ . These vectors x are in $R^{n}$ .The nullspace containing all solutions of $Ax=0$ is denoted by $N(A)$ .

简单说，矩阵A的零空间就是使得 $Ax=0$ 成立的所有解构成的向量子空间。

对于上面例子中的矩阵A，它的零空间空间由下面的方程组求解：

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2& 1 & 3\\ 3 &1 & 4\\ 4 & 1 &5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix}=0$

求解上面的线性方程组，可得 : $N(A):c\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{bmatrix}$ ，这里的零空间是3维空间中过原点的一条直线。

注意：对于mxn的实数矩阵A， $N(A)$ 是 $R^{n}$ 的向量子空间， $N(A)$ 空间中的向量和A的行向量大小一样；而 $C(A)$ 是 $R^{m}$ 的向量子空间。

给出两个检验：

（1）Ax=0的解构成一个向量子空间.

（2）Ax=b的解不构成一个向量子空间.

这两个检验的证明很简单，检验证明在这里不列出了，以备以后回头复习时检验对知识掌握的牢固程度。

本节课的内容对应《INTRODUCTION TO LINEAR ALGEBRA》3.1章节的后半部分和3.2章节的前半部分。

下节课：求解Ax=0：主变量，特解-线性代数课时7（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang）