看懂本文需要提前有哪些知识？

• 知道什么是图灵机，非确定图灵机
• 知道什么是SAT问题

什么是NP问题？

首先我们要知道，NP一般都是针对决定性问题（Decision problem）的。比如今天我们要讨论的SAT问题，我们要知道一个布尔表达式能不能被满足，只有Yes和No两种情况。NP问题的定义有以下两种：

• 问题解能在多项式时间内被验证的问题
• 能被非确定图灵机在多项式时间内解决的问题

很容易证明这两个定义是等价的。由于我们没有详细定义什么是“验证”“解”，在这里不展开详细证明。粗略地说，如果我们有一个多项式时间的确定图灵机验证问题的解，那就可以构造出一个非确定图灵机去“猜”这个解，然后用那个机器去检验猜的对不对。如果我们有一个非确定图灵机解决这个问题，那么对于每一个（可能的）解，它只会有一个分支在跑（验证）这个解。所以我们只需要模拟这个非确定图灵机在确定的一个分支上的行为，就可以得到一个多项式时间的“验证机”。

对于SAT来说，如果有人告诉你一个布尔表达式是可以被满足的，然后他给出了一组解，你很容易能验证这组解是不是能满足这个布尔表达式。但如果有个人告诉你一个布尔表达式是不能被满足的，你就没有办法很容易地验证他说得对不对。如果定义coSAT为所有不能被满足的布尔表达式的集合，那么验证一个布尔表达式在不在coSAT里，这个问题就是coNP（且是coNP-complete）的。

证明SAT是NP-complete的

以下证明来自于Michael Sipser的《Introduction to the Theory of Computation》。个人认为是相当精彩的证明。所有名词的翻译来源于这本书的中文版或维基百科。

定义一个图灵机的格局（configuration）为图灵机当前的纸带上的字符串，图灵机的读写头的位置，以及图灵机当前所处的状态，这三个组成的集合。我们通常用

我们现在要证明所有NP问题都能在多项式时间内被转化到SAT问题。显然枚举所有NP问题是不现实的。我们从NP问题的定义出发。假设有一个NP问题，叫它

画面为一个

如图1。（暂时不要管window是什么）方便起见，我们让每个格局的第一个和最后一个字符都是#。第一行一定是起始格局（即包含其实状态和输入字符串，且读写头在最左端）。我们要求每一行都能从上一行的格局中合法地转移而来（根据转移函数）。如果其中有一行的格局是接受格局（即状态是接受状态

接受的。

别忘了我们的目标：将问题A转化成SAT问题。也就是说，对于一个

我们首先定义

单元，并用

我们将要构造的布尔表达式

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这个表达式的意思是，对于每个单元，都至少有一个字符

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其中

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合法。合法的意思就是窗口的第一行可以合法地转移到第二行。（书里也没有讲“合法”的详细定义，但这不影响我们的证明。要详细定义“合法”太麻烦了，意义不大）

举个例子：假设a, b, c是纸带字母表中的字符，

• 写下c，进入状态
  ，读写头左移
• 写下a，进入状态
  ，读写头右移

那么图2里的窗口就全都是合法的窗口。

图3里的都是非法的窗口。

（关于这些窗口为什么合法或者非法，应该很好懂，所以我这就不做解释了。如果有疑问可以在评论区提问）

Claim：如果画面中每个这样的2x3的窗口都是合法的，那么每一行的格局都是从上一行的格局合法转移来的。

证明：对于上一行的格局来说，如果一个字符不与状态字符相邻，那它就不应该变。我们考虑当这个字符处在我们2x3的窗口的第一行正中间时，这是它不管怎么变都是不合法的（参考图2(d)，图3(a)）。这里我们在最开始和最后加的#号就有了作用，因为有了它们才能保证每个字符都可以在窗口正中间。现在我们考虑第一行正中间是一个状态字符的情况。根据转移函数，我们很容易就能判断出一个窗口是否合法（参考图2(b)，图3(b)(c)），且只要这个窗口合法，这个格局的转移部分就是合法的。合法的转移部分+其他字符都不变，保证了格局的转移合法。

现在我们要构造

其中

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目前为止，我们已经构造出了

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后记

到这里我们就完成了SAT的NP完全性的证明。其实定理的证明并不复杂，难点在于

既然都看完了，点个赞再走吧~

参考文献

[1] Sipser, Michael. Introduction to the Theory of Computation (3rd edition). 2015.