一、曲面方程和空间曲线方程的概念

1.引入原因

平面与空间直线是曲面和空间曲线的特例，为了讨论二者引入。

2.几何意义

在空间解析几何中，任何曲面或曲线都是点的几何轨迹。

可以通过判断点是否满足曲线或曲面的方程来判断它在不在曲面上。

二、平面的点法式

1.法线向量

（1）一个非零垂直于一平面的向量。

（2）平面上任意向量都垂直于法线向量。

（3）过空间一点可以作且只能作一平面垂直于一直线（我的理解是知道平面上一点的坐标和法向量，可以确定一个平面）。

（4）求法线向量可以由两个向量叉乘求得。

2.点法式

同济课本上给的例题：

如图，已知的条件是：

（1）M0的坐标（x0,y0,z0）；

（2）法线向量n（A,B,C）；

为了求平面方程，要先确认一点：平面上所有向量与法线向量都垂直。这也就意味着平面上所有的向量与法线向量的点乘都为0（因为垂直了），本质上其实就是一个点乘的问题。

设任意点为M（x,y,z），向量MoM和n的点乘结果为0，即：

这个式子就叫做点法式。

三、平面的一般方程

1.和点法式的联系

任意平面都可以用平面上一点来表示，所以由点法式方程可以看出，任何平面都可以用三元一次方程表示。

2.推导过程

（1）设一个三元一次方程：Ax+By+Cz+D=0

(2)取任意一组数x0,y0,z0:Ax0+By0+Cz0+D=0

(1)(2)相减可得：

3.一般方程

四、两平面的夹角

1.法向量的夹角

在点乘之中，我们知道a .b=|a| |b| cos $\theta$ ，即

夹角的余弦值等于两个向量相乘再除以它们的模的乘积。

cos $\theta$ = $\frac{a . b}{|a| |b|}$

两个法向量的夹角求法也是一样的,只不过需要注意法向量的夹角是平面之间夹角的锐角，即：

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