文章目录

Ch8. 向量代数与空间解析几何
- 8.1 向量、向量的线性运算、方向余弦
- - 方向余弦
- 8.2 数量积、向量积、混合积
- - 1.数量积 a⋅ba·ba⋅b
  - 2.向量积 a×ba×ba×b
  - 3. 混合积 [abc]
- 8.3 平面及其方程
- - 点到平面的距离公式
- 8.4 直线方程
- - 点向式(对称式)方程
  - 参数方程
- 8.5 空间曲面、曲面方程
- - (一)二次曲面(9种)
  - - 1.圆柱面 / 椭圆柱面
    - 2.双曲柱面
    - 3.抛物柱面
    - 4.球面/半球面/椭球面
    - 5.圆锥面 / 椭圆锥面
    - 6.旋转抛物面 / 椭圆抛物面
    - 7.单叶双曲面
    - 8.双叶双曲面
    - 9.双曲抛物面 (马鞍面)
  - (二)旋转曲面

Ch8. 向量代数与空间解析几何

8.1 向量、向量的线性运算、方向余弦

两向量共线，线性相关
三向量共面，线性相关

方向余弦

非零向量r⃗\vec{r}r与三条坐标轴的夹角α、β、γα、β、γα、β、γ 称为向量r⃗\vec{r}r的方向角

设OM⃗=r⃗=(x,y,z)，则cos⁡α=x∣r∣，cos⁡β=y∣r∣，cos⁡γ=z∣r∣\vec{OM}=\vec{r}=(x,y,z)，则\cosα=\dfrac{x}{|r|}，\cosβ=\dfrac{y}{|r|}，\cosγ=\dfrac{z}{|r|}OM=r=(x,y,z)，则cosα=∣r∣x，cosβ=∣r∣y，cosγ=∣r∣z

显然，cos⁡²α+cos⁡²β+cos⁡²γ=1\cos²α+\cos²β+\cos²γ=1cos²α+cos²β+cos²γ=1

即 cos⁡α=aa²+b²+c²，cos⁡β=ba²+b²+c²，cos⁡γ=ca²+b²+c²，\cosα=\dfrac{a}{\sqrt{a²+b²+c²}}，\cosβ=\dfrac{b}{\sqrt{a²+b²+c²}}，\cosγ=\dfrac{c}{\sqrt{a²+b²+c²}}，cosα=a²+b²+c²a，cosβ=a²+b²+c²b，cosγ=a²+b²+c²c，

8.2 数量积、向量积、混合积

1.数量积 a⋅ba·ba⋅b

数量积、点积、内积：对应分量分别相乘

α⋅β=(α,β)=αTβ=βTαα·β=(α,β)=α^Tβ=β^Tαα⋅β=(α,β)=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+a3b3=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=a1b1+a2b2+a3b3（设α、β均为3维列向量）

2.向量积 a×ba×ba×b

向量积、叉乘：行列式

c⃗=a⃗×b⃗\vec{c}=\vec{a}×\vec{b}c=a×b，则 c⃗\vec{c}c 既垂直于 a⃗\vec{a}a 又垂直于 b⃗\vec{b}b

a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗axayazbxbybz∣\vec{a}×\vec{b}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right|a×b=∣∣∣∣∣∣iaxbxjaybykazbz∣∣∣∣∣∣

3. 混合积 [abc]

[abc]=(a×b)⋅c=∣axayazbxbybzcxcycz∣[abc]=(a×b)·c=\left|\begin{array}{ccc} a_x & a_y &a_z\\ b_x & b_y &b_z\\ c_x & c_y &c_z\\ \end{array}\right|[abc]=(a×b)⋅c=∣∣∣∣∣∣axbxcxaybycyazbzcz∣∣∣∣∣∣

8.3 平面及其方程

点到平面的距离公式

d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A²+B²+C²d=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A²+B²+C²}}d=A²+B²+C²∣Ax0+By0+Cz0+D∣

例题：06年4.

分析：d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A²+B²+C²=3×2+4×13²+4²+5²=1050=1052=2d=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A²+B²+C²}}=\dfrac{3×2+4×1}{\sqrt{3²+4²+5²}}=\dfrac{10}{\sqrt{50}}=\dfrac{10}{5\sqrt{2}}=\sqrt{2}d=A²+B²+C²∣Ax0+By0+Cz0+D∣=3²+4²+5²3×2+4×1=5010=5210=2

答案：2\sqrt{2}2

8.4 直线方程

点向式(对称式)方程

1.直线的方向向量s⃗\vec{s}s：若一个非零向量平行于一条已知直线，那么这个向量就叫做这条直线的方向向量
2.直线的点向式方程(直线的对称式方程)：空间中一点 + 直线的方向向量，可以唯一确定一条直线。
设M0(x0,y0,z0)M_0(x_0,y_0,z_0)M0(x0,y0,z0)为直线 lll 上一点，s⃗=(m,n,p)\vec{s}=(m,n,p)s=(m,n,p)为直线 lll 的方向向量，则
x−x0m=y−y0n=z−z0p\dfrac{x-x_0}{m}=\dfrac{y-y_0}{n}=\dfrac{z-z_0}{p}mx−x0=ny−y0=pz−z0
为直线的点向式方程或对称式方程，其中m,n,p为不全为零的数

参数方程

令x−x0m=y−y0n=z−z0p=t令\quad \dfrac{x-x_0}{m}=\dfrac{y-y_0}{n}=\dfrac{z-z_0}{p}=t令mx−x0=ny−y0=pz−z0=t，
得到直线的参数方程：
{x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt\left\{\begin{aligned} x & = x_0+mt \\ y & = y_0+nt\\ z & = z_0+pt \end{aligned}\right.⎩⎪⎨⎪⎧xyz=x0+mt=y0+nt=z0+pt
写成向量形式为γ(t)=s0+sγ(t)=s_0+sγ(t)=s0+s，其中s0=(x0,y0,z0)，s=(m,n,p)s_0=(x_0,y_0,z_0)，s=(m,n,p)s0=(x0,y0,z0)，s=(m,n,p)

例题1：20年6. 直线的点向式方程→直线的参数方程 + 线性表示

分析：

答案：C

8.5 空间曲面、曲面方程

(一)二次曲面(9种)

与平面解析几何中规定的二次曲线类似，我们把三元二次方程F(x,y,z)=0所表示的曲面称为二次曲面，把平面称为一次曲面

1.圆柱面 / 椭圆柱面

①圆柱面：x2+y2=R2x^2+y^2=R^2x2+y2=R2
②椭圆柱面：x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1a2x2+b2y2=1 （由圆形、椭圆形拔到z轴上）

2.双曲柱面

双曲柱面：x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1a2x2−b2y2=1（由双曲线拔到z轴上）

3.抛物柱面

抛物柱面：x2=ayx^2=ayx2=ay （由抛物线拔到z轴上）

举例：y2=2xy^2=2xy2=2x

4.球面/半球面/椭球面

①球面：x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1x2+y2+z2=1

②上半球面：z=1−x2−y2z=\sqrt{1-x^2-y^2}z=1−x2−y2 (x的奇函数，y的奇函数，积分为0)

③椭球面：x2a2+y2b2+z2c2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1a2x2+b2y2+c2z2=1

5.圆锥面 / 椭圆锥面

①圆锥面：z2=x2+y2z^2=x^2+y^2z2=x2+y2

②椭圆锥面：x2a2+y2b2=z2\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=z^2a2x2+b2y2=z2

6.旋转抛物面 / 椭圆抛物面

①旋转抛物面：z=x2+y2z=x^2+y^2z=x2+y2

②椭圆抛物面：x2a2+y2b2=z\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=za2x2+b2y2=z

7.单叶双曲面

单叶双曲面：两正一负
单叶双曲面，单负号，花瓶：

x2a2+y2b2−z2c2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1a2x2+b2y2−c2z2=1

x2+y2−z2=1x^2+y^2-z^2=1x2+y2−z2=1

单叶双曲面和双叶双曲面都是由双曲线x²-y²=1旋转得来。单叶是绕(双曲线之间的那根轴)y轴旋转，双叶是绕(贯穿两根双曲线的那根轴)x轴旋转。

8.双叶双曲面

双叶双曲面：一正两负
双叶双曲面，双负号，两个碗：

x2a2−y2b2−z2c2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1a2x2−b2y2−c2z2=1

x2+y2−z2=−1x^2+y^2-z^2=-1x2+y2−z2=−1

9.双曲抛物面 (马鞍面)

双曲抛物面：x2a2−y2b2=z\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=za2x2−b2y2=z

举例：z=x2−y2z=x^2-y^2z=x2−y2

例题1：16年06. 二次型与二次曲面

分析：二次型对应矩阵的特征值为5，-1，-1。对应于双叶双曲面的系数。

f>0，单叶系数2正1负，双叶系数1正2负

答案：B

(二)旋转曲面

旋转曲面的求法：

例题1：13年19. 旋转曲面的求法、重积分的应用：形心坐标

分析：x²+y²=2z²+2z+1x²+y²=2z²+2z+1x²+y²=2z²+2z+1 图像如图所示：

答案：

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