分式求二阶导数_一道与三角零点距离有关的导数问题

最近有同学问了下面的一道题目：

第一问很简单，第二问的这种形式自己可以回忆一下在哪里见过类似的题目，先看下面的几道题目：

上述题目均为函数与零点相关的问题，求两个或多个零点之间运算的取值范围，这种题目较为常用的解法是消元和转化，即当有多个零点参与运算时，可通过函数的对称性减少未知量的个数，若只存在两个变量，可试图找变量之间的转化关系，转化为只含有一个变量且能确定出变量范围的函数问题，若两个变量之间不存在明显的转化关系，可分别求出各自的范围，再求整体的范围，再或者利用几何关系找到取得最值时的条件。

在一开始给出的题目中，极值点可看做导函数正负分界的零点，求导如下：

若此时设g(x)=xsinx+xcosx-sinx,显然g(x)不是周期函数，零点单调性均无法直接判断，求导之后g'(x)=sinx+xcosx-xsinx也无法求根或判断单调性，即便再求二阶导也无济于事，单调性无法判断，零点所在区间也无法判断，问题在于设的函数有问题，如果发现g(x)+g'(x)是一个能求根和判断正负的式子之后，就知道所设的g(x)应该为g(x)=e^x*(xsinx+xcosx-sinx),题目做不出来很可能就卡住这里了。

判断出g(x)的单调区间后根据单调性就可以分别确定出x1,x2的取值范围了。

若设x1

这个题目有迷惑性，在常见的二阶导数中，我们习惯把分式中不能确定正负的部分单独设为一个函数，例如本题目中很容易把g(x)设成xsinx+xcosx-sinx，而二阶导的目的是能得到一个可求零点或者判断正负的函数，希望本题目给提一个醒吧。

另外若把零点看做是两函数图像的交点，零点可转化为方程sinx+cosx=sinx/x的交点，若分别作出y=sinx+cosx和y=sinx/x的图像，y=sinx+cosx为常见的三角函数，y=sinx/x在x>0时是一个收敛函数，当x→+∞时，函数值趋近于0，所以当x逐渐变大时，相邻两个零点之间的距离越接近于y=sinx+cosx周期的一般，即π，若研究y=sinx+cosx-sinx/x的图像，会发现当x大于某数值后，sinx/x→0，函数基本上可看做是周期函数y=sinx+cosx，图像如下：

上面为题目的一些扩展，不可用来解题，函数y=sinx+cosx-sinx/x虽不是周期函数，但有周期函数的某些特征，这让人联想到2019年全国2理科的第12题中类周期函数的问题，有关类周期函数的题目，在资料整理足够的时候会专门写一篇。

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