线性代数Python计算：解可逆系数矩阵线性方程组

numpy的linalg模块中solve函数解可逆系数矩阵的线性方程组。该函数的调用接口为
solve(A, b) \text{solve(A, b)} solve(A, b)
参数A表示系数矩阵 A \boldsymbol{A} A，b表示常数矩阵 b \boldsymbol{b} b。若A表示的系数矩阵可逆，返回方程组 A x = b \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} Ax=b的解，否则报错。
例1 下图中(a)表示一电路网络，每条线上标出的数值是电阻，E点接地。向X，Y，Z和U四点通入电流，强度均为 100 100 100安培。求X，Y，Z，U四点处的电位。

解：设定进入X，Y，Z，U四点流向电路的电路为 I 1 I_1 I1， I 2 I_2 I2， I 3 I_3 I3， I 4 I_4 I4， I 5 I_5 I5， I 6 I_6 I6， I 7 I_7 I7， I 8 I_8 I8（见图中(b)）。运用基尔霍夫定律知，
{ I 1 + I 2 − I 3 = 100 I 3 + I 4 − I 5 = 100 I 5 + I 6 − I 7 = 100 I 7 + I 8 − I 1 = 100 . \begin{cases} I_1+I_2-I_3=100\\I_3+I_4-I_5=100\\I_5+I_6-I_7=100\\I_7+I_8-I_1=100 \end{cases}. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧I1+I2−I3=100I3+I4−I5=100I5+I6−I7=100I7+I8−I1=100.
设X，Y，Z，U四点处的电位分别为 V X V_X VX， V Y V_Y VY， V Z V_Z VZ， V U V_U VU。由欧姆定律知 I = V R I=\frac{V}{R} I=RV，其中I，R，V分别表示电流，电阻，电位。于是，
I 1 = V X − V U I_1=V_X-V_U I1=VX−VU， I 2 = 6 V X I_2=6V_X I2=6VX， I 3 = 2 V Y − 2 V X I_3=2V_Y-2V_X I3=2VY−2VX， I 4 = 7 V Y I_4=7V_Y I4=7VY
I 5 = 3 V Z − 3 V Y I_5=3V_Z-3V_Y I5=3VZ−3VY， I 6 = 8 V Z I_6=8V_Z I6=8VZ， I 7 = 4 V U − 4 V Z I_7=4V_U-4V_Z I7=4VU−4VZ， I 8 = 5 V U I_8=5V_U I8=5VU
代入电流方程组得
{ 9 V X − 2 V Y − V U = 100 − 2 V X + 12 V Y − 3 V Z = 100 − 3 V Y + 15 V Z − 4 V U = 100 − V X − 4 V Z + 10 V U = 100 . \begin{cases} \quad9V_X-2V_Y\quad\quad\quad-V_U=100\\-2V_X+12V_Y-3V_Z\quad\quad\quad=100\\\quad\quad\quad-3V_Y+15V_Z-4V_U=100\\-V_X\quad\quad\quad\quad-4V_Z+10V_U=100 \end{cases}. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧9VX−2VY−VU=100−2VX+12VY−3VZ=100−3VY+15VZ−4VU=100−VX−4VZ+10VU=100.
该方程组的系数矩阵为 A = ( 9 − 2 0 − 1 − 2 12 − 3 0 0 − 3 15 − 4 − 1 0 − 4 10 ) \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}9&-2&0&-1\\-2&12&-3&0\\0&-3&15&-4\\-1&0&-4&10\end{pmatrix} A=⎝⎜⎜⎛9−20−1−212−300−315−4−10−410⎠⎟⎟⎞，常数矩阵 b = ( 100 100 100 100 ) \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}100\\100\\100\\100\end{pmatrix} b=⎝⎜⎜⎛100100100100⎠⎟⎟⎞。用下列代码计算该方程组的解。

import numpy as np                          #导入numpy
from fractions import Fraction as F         #导入Fraction
np.set_printoptions(formatter={'all':lambda x:str(F(x).limit_denominator())})
A=np.array([[9,-2,0,-1],                    #系数矩阵A[-2,12,-3,0],[0,-3,15,-4],[-1,0,-4,10]])
b=np.array([100,100,100,100])               #常数矩阵b
X=np.linalg.solve(A, b)                     #解方程
print(X.reshape(4,1))                       #输出解

程序的第5~8行设置方程组的系数矩阵A，第9行设置常数矩阵b，第10行调用numpy.linalg的solve函数，传递参数A和b，计算方程组 A x = b \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} Ax=b的解X。运行程序，输出

[[210100/12907][188400/12907][183300/12907][223400/12907]]

即即X，Y，Z，U四点处电位 V X = 210100 12907 V_X=\frac{210100}{12907} VX=12907210100， V Y = 188400 12907 V_Y=\frac{188400}{12907} VY=12907188400， V Z = 183300 12907 V_Z=\frac{183300}{12907} VZ=12907183300， V U = 223400 12907 V_U=\frac{223400}{12907} VU=12907223400。
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