续集

【算法讲5：乘性函数（中）】莫比乌斯函数 | 莫比乌斯反演 | 莫比乌斯反演应用

一些定义 / 定理

算数函数：定义在所有正整数上的函数
乘性函数（或积性函数）：如果算数函数 fff 对任意两个互素的正整数 m、nm、nm、n，均有 f(mn)=f(m)f(n)f(mn)=f(m)f(n)f(mn)=f(m)f(n)
完全乘性函数（或完全积性函数）：如果算数函数 fff 对任意两个正整数 m、nm、nm、n，均有 f(mn)=f(m)f(n)f(mn)=f(m)f(n)f(mn)=f(m)f(n)
如果 fff 是一个乘性函数，对任意正整数有素幂因子分解 n=p1a1p2a2⋯psasn=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}n=p1a1p2a2⋯psas
那么 f(n)=f(p1a1)f(p2a2)⋯f(psas)f(n)=f(p_1^{a_1})f(p_2^{a_2})\cdots f(p_s^{a_s})f(n)=f(p1a1)f(p2a2)⋯f(psas)
和函数：如果 fff 是个算数函数，它的和函数为 FFF ，那么 F(n)=∑d∣nf(d)F(n)=\underset{d|n}{\sum}f(d)F(n)=d∣n∑f(d)

欧拉 ϕ\phiϕ 函数

定理1：如果 ppp 是素数，那么 ϕ(p)=p−1\phi(p)=p-1ϕ(p)=p−1。
反之，如果 ppp 是正整数且 ϕ(p)=p−1\phi(p)=p-1ϕ(p)=p−1，那么 ppp 是素数。
定理2：设 ppp 是素数， aaa 是一个正整数，那么 ϕ(pa)=pa−pa−1\phi(p^a)=p^a-p^{a-1}ϕ(pa)=pa−pa−1
证明：不超过 pap^apa 且和 pap^apa 不互素的数都可以写成 kpkpkp 的形式，其中 1≤k≤pa−11\le k\le p^{a-1}1≤k≤pa−1，故有 pa−1p^{a-1}pa−1 个这样的数。
ϕ\phiϕ 是乘性函数，即若 m、nm、nm、n 互素，那么 ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)
证明：用如下方式列出 1∼mn1\sim mn1∼mn 的所有正整数：
1m+12m+1⋯(n−1)m+12m+22m+2⋯(n−1)m+23m+32m+3⋯(n−1)m+3⋮⋮⋮⋮rm+r2m+r⋯(n−1)m+r⋮⋮⋮⋮m2m3m⋯nm\begin{matrix} 1&m+1&2m+1&\cdots&(n-1)m+1\\ 2&m+2&2m+2&\cdots&(n-1)m+2\\ 3&m+3&2m+3&\cdots&(n-1)m+3\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ r&m+r&2m+r&\cdots&(n-1)m+r\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ m&2m&3m&\cdots&nm\\ \end{matrix} 123⋮r⋮mm+1m+2m+3⋮m+r⋮2m2m+12m+22m+3⋮2m+r⋮3m⋯⋯⋯⋯⋯(n−1)m+1(n−1)m+2(n−1)m+3⋮(n−1)m+r⋮nm
（1）现在假设 rrr 是不超过 mmm 的正整数，且 gcd⁡(m,r)=d>1\gcd(m,r)=d>1gcd(m,r)=d>1，那么第 rrr 行中没有与 mnmnmn 互素的元素。
（2）因此，我们只需要考虑满足 gcd⁡(m,r)=1\gcd(m,r)=1gcd(m,r)=1 的第 rrr 行，该行里有多少个元素和 mnmnmn 互素。首先，这里面每一个元素都和 mmm 互素。
（3）因为每一行 nnn 个整数形成模 nnn 的完全剩余系，故这里面有 ϕ(n)\phi(n)ϕ(n) 个与 nnn 互素的整数。
（4）ϕ(m)\phi(m)ϕ(m) 行，每行 ϕ(n)\phi(n)ϕ(n) 个元素与 mnmnmn 互素，故 ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)
定理3：设 n=p1a1p2a2⋯psasn=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}n=p1a1p2a2⋯psas 为正整数 nnn 的素幂因子分解，那么：
ϕ(n)=n(1−1p1)(1−1p2)⋯(1−1ps)\phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots(1-\frac{1}{p_s})ϕ(n)=n(1−p11)(1−p21)⋯(1−ps1)
证明：因为 ϕ\phiϕ 是乘性函数，故 ϕ(n)=ϕ(p1a1)ϕ(p2a2)⋯ϕ(psas)\phi(n)=\phi(p_1^{a_1})\phi(p_2^{a_2})\cdots\phi(p_s^{a_s})ϕ(n)=ϕ(p1a1)ϕ(p2a2)⋯ϕ(psas)
由定理2，我们得到 ϕ(piai)=piai−piai−1=piai(1−1pi)\phi(p_i^{a_i})=p_i^{a_i}-p_i^{a_i-1}=p_i^{a_i}(1-\frac{1}{p_i})ϕ(piai)=piai−piai−1=piai(1−pi1)
故 ϕ(n)=p1a1(1−1p1)p2a2(1−1p2)⋯psas(1−1ps)=n(1−1p1)(1−1p2)⋯(1−1ps)\begin{aligned}\phi(n)&=p_1^{a_1}(1-\frac{1}{p_1})p_2^{a_2}(1-\frac{1}{p_2})\cdots p_s^{a_s}(1-\frac{1}{p_s})\\&=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots(1-\frac{1}{p_s})\end{aligned}ϕ(n)=p1a1(1−p11)p2a2(1−p21)⋯psas(1−ps1)=n(1−p11)(1−p21)⋯(1−ps1)
定理4：除了 n=2n=2n=2 时，ϕ(n)\phi(n)ϕ(n) 都是偶数。
证明：首先 ϕ(n)=∏ϕ(piai)\phi(n)=\prod\phi(p_i^{a_i})ϕ(n)=∏ϕ(piai)
（1）当 n>2n>2n>2 时，若含有至少一个奇素数 pip_ipi ，则 ϕ(piai)=piai−1(pi−1)\phi(p_i^{a_i})=p_i^{a_i-1}(p_i-1)ϕ(piai)=piai−1(pi−1) 是一个偶数，故此时 ϕ(n)\phi(n)ϕ(n) 是一个偶数；。
（2）当 n>2n>2n>2 时，且不含有任何奇素数，故 n=2a1n=2^{a_1}n=2a1，此时 ϕ(n)=2a1−1(2−1)=2a1−1\phi(n)=2^{a_1-1}(2-1)=2^{a_1-1}ϕ(n)=2a1−1(2−1)=2a1−1，因为 a1−1>1a_1-1>1a1−1>1 故 ϕ(n)\phi(n)ϕ(n) 是一个偶数。
定理5：设 nnn 是正整数，那么 ∑d∣nϕ(d)=n\underset{d|n}{\sum}\phi(d)=nd∣n∑ϕ(d)=n
证明：我们将 1∼n1\sim n1∼n 的整数构成的集合进行分类。mmm 属于类 CdC_dCd 表示 gcd⁡(n,m)=d\gcd(n,m)=dgcd(n,m)=d
等价的表述：mmm 属于类 CdC_dCd 表示 gcd⁡(nd,md)=1\gcd(\frac{n}{d},\frac{m}{d})=1gcd(dn,dm)=1。
所以， CdC_dCd 类中所含整数的个数是所有不超过 nd\frac{n}{d}dn 且和 nd\frac{n}{d}dn 互素的正整数的个数。
所以 CdC_dCd 类中存在 ϕ(nd)\phi(\frac{n}{d})ϕ(dn) 个整数。
因为每个数只能存在在一个类里面，故 n=∑d∣nϕ(nd)=∑d∣nϕ(d)n=\underset{d|n}{\sum}\phi(\frac{n}{d})=\underset{d|n}{\sum}\phi(d)n=d∣n∑ϕ(dn)=d∣n∑ϕ(d)

因子和与因子个数

因子和函数 σ\sigmaσ 定义为整数 nnn 的所有正因子之和，记为 σ(n)\sigma(n)σ(n)
因子个数函数 τ\tauτ 定义为正整数 nnn 的所有正因子的个数，记为 τ(n)\tau(n)τ(n)
容易看到，σ(n)=∑d∣nd\sigma(n)=\underset{d|n}{\sum}dσ(n)=d∣n∑d，还有 τ(n)=∑d∣n1\tau(n)=\underset{d|n}{\sum}1τ(n)=d∣n∑1
定理1：如果 fff 是乘性函数，那么其和函数 FFF 也是乘性函数，
即若 m、nm、nm、n互素，则 F(mn)=F(m)F(n)F(mn)=F(m)F(n)F(mn)=F(m)F(n)。
证明：
（1）首先假设 gcd⁡(m,n)=1\gcd(m,n)=1gcd(m,n)=1，有 F(mn)=∑d∣mnf(d)F(mn)=\underset{d|mn}{\sum}f(d)F(mn)=d∣mn∑f(d)
（2）因为 gcd⁡(m,n)=1\gcd(m,n)=1gcd(m,n)=1，故每个 mnmnmn 的因子可以唯一地写成 mmm 的因子 d1d_1d1 和 nnn 的因子 d2d_2d2 的积，且这两个因子互素，即 d=d1d2d=d_1d_2d=d1d2，所以有：
F(mn)=∑d1∣md2∣nf(d1d2)=∑d1∣md2∣nf(d1)f(d2)=∑d1∣mf(d1)∑d2∣nf(d2)=F(m)F(n)F(mn)=\underset{\underset{d_2|n}{d_1|m}}{\sum}f(d_1d_2)=\underset{\underset{d_2|n}{d_1|m}}{\sum}f(d_1)f(d_2)=\underset{d_1|m}{\sum}f(d_1)\underset{d_2|n}{\sum}f(d_2)=F(m)F(n)F(mn)=d2∣nd1∣m∑f(d1d2)=d2∣nd1∣m∑f(d1)f(d2)=d1∣m∑f(d1)d2∣n∑f(d2)=F(m)F(n)
推论1：σ\sigmaσ 和 τ\tauτ 函数是乘性函数。
证明：
（1）设 f(n)=nf(n)=nf(n)=n 和 g(n)=1g(n)=1g(n)=1，易得该俩函数是乘性函数。
（2）由定理1得到 σ(n)=∑d∣nf(d)\sigma(n)=\underset{d|n}{\sum}f(d)σ(n)=d∣n∑f(d) 和 τ(n)=∑d∣ng(d)\tau(n)=\underset{d|n}{\sum}g(d)τ(n)=d∣n∑g(d) 是乘性的。
引理1：设 ppp 是一个素数， aaa 是一个正整数，那么 σ(pa)=1+p+p2+⋯+pa=pa+1−1p−1\sigma(p^a)=1+p+p^2+\cdots+p^a=\frac{p^{a+1}-1}{p-1}σ(pa)=1+p+p2+⋯+pa=p−1pa+1−1
和 τ(pa)=a+1\tau(p^a)=a+1τ(pa)=a+1
定理2：根据定理1，推论1和引理1，得到 n=p1a1p2a2⋯psasn=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}n=p1a1p2a2⋯psas 的素幂因子分解，则
σ(n)=∏piai+1−1pi−1\sigma(n)=\prod \frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}σ(n)=∏pi−1piai+1−1
和 τ(n)=∏(ai+1)\tau(n)=\prod(a_i+1)τ(n)=∏(ai+1)

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