素数筛法(传统普通、朴素筛法、埃式筛法、欧拉筛法(线性筛))
素数筛法(普通、朴素筛法、埃式筛法、欧拉筛法)
- 1.题目
- 2.分析
- 3.代码
- 传统普通
- 朴素筛法
- 朴素筛法(6.14)
- 埃式筛法
- 埃式筛法(6.14)
- 欧拉筛法(线性筛)
- 欧拉筛法(线性筛 6.14)
- 4.总结
- 5.更新日志
1.题目
题目链接
题目描述
输入一个自然数N,按质数定义从小到大输出1~N(包含N)中所有的质数
输入描述:
输入一行,包含一个整数N
1 <= N <= 2000
输出描述:
输出一行,包含所有的质数,按照从小到大的顺序输出,以空格隔开。
示例1
输入
20
输出
2 3 5 7 11 13 17 19
2.分析
筛掉合数剩下的即为素数,下面用四种方法实现。
3.代码
传统普通
从2到n遍历,判断为素数则输出
#include <bits/stdc++.h> //1.普通方法
using namespace std;
bool isprime(int x)
{for(int i=2;i<=x/i;i++) //此处为了防止i*i溢出 故改为i<=x/iif(x%i==0)return 0;return 1;
}
int main()
{int n;cin>>n;for(int i=2;i<=n;i++)if(isprime(i))cout<<i<<" ";return 0;
}
朴素筛法
朴素筛法[不论质数和合数均去除i的2 3 4 …倍的数字]
#include <bits/stdc++.h> //2.朴素筛法[不论质数和合数均去除i的2 3 4 ...倍的数字]
using namespace std;
int main()
{int n;cin>>n;bool * p=new bool [n+1]; //只用下标从1 2 ...n的int * primes=new int [n];int k=0;for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=0; //先初始化为0for(int i=2;i<=n;i++){if(!p[i]) //未被筛掉(即为质数)primes[k++]=i;for(int j=i*2;j<=n;j+=i) //筛掉2 3 4 ...倍数的p[j]=1; }for(int i=0;i<k;i++)cout<<primes[i]<<" ";delete []primes;delete [] p;return 0;
}
朴素筛法(6.14)
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N];
bool st[N];
int cnt;
void prime(int n) //1.朴素筛法 直接筛去每个数的倍数
{for (int i = 2; i <= n; i++){if(!st[i]) primes[cnt++] = i;for (int j = i + i; j <= n; j += i)st[j] = true;}
}int main()
{int n;cin >> n;prime(n);cout << cnt;return 0;
}
埃式筛法
埃式筛法(优化朴素筛法而来)[只去除质数的倍数]
(改进的版本从ii开始 ,i(i+1)…)
#include <iostream>
using namespace std; //3.埃式筛法(优化朴素筛法而来)[只去除质数的2 3 4..倍]
int main() //
{int n;cin>>n;bool * p=new bool [n+1]; //只取下标1 2 .. n的int * primes=new int [n];for(int i=1;i<=n;i++) //初始化p[i]=0;int k=0;for(int i=2;i<=n;i++){if(!p[i]){primes[k++]=i;// for(int j=i*2;j<=n;j+=i) //去除质数的2 3 ... 倍for(int j=i*i;j<=n;j+=i) //进一步优化p[j]=1;}}for(int i=0;i<k;i++)cout<<primes[i]<<" ";return 0;
}
埃式筛法(6.14)
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N];
bool st[N];
int cnt;
void prime(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i++){if (!st[i]){primes[cnt++] = i;for (int j = i + i; j <= n; j += i) //去除 质数的倍数 的数字st[j] = true;}}
}int main()
{int n;cin >> n;prime(n);cout << cnt;return 0;
}
欧拉筛法(线性筛)
欧拉筛法(每个合数只会被自己的 最小质因子 筛去)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; //4.欧拉筛法 [用最小质因子筛去合数]
int main()
{int n; cin>>n;bool * p=new bool [n+1]; //记录是否被筛掉int * primes=new int [n];int k=0;for(int i=2;i<=n;i++){if(!p[i])primes[k++]=i;for(int j=0;j<=k&&i*primes[j]<=n;j++) //将i乘以素数序列中的每一个数筛掉{ p[i*primes[j]]=1;if(i%primes[j]==0) //当 primes[j]为i的最小质因子时break;}}for(int i=0;i<k;i++)cout<<primes[i]<<" ";return 0;
}
欧拉筛法(线性筛 6.14)
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N];
bool st[N];
int cnt;
void prime(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i++){if (!st[i]) primes[cnt++] = i;for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++){st[primes[j] * i] = true;if (i % primes[j] == 0) break; //已经被 最小质因子筛去,跳出}}
}int main()
{int n;cin >> n;prime(n);cout << cnt;return 0;
}
4.总结
传统普通:时间复杂度为O(√n)
朴素筛法:时间复杂度为O(nlogn)
埃式筛法:时间复杂度为O(nlog(logn))
欧拉筛法:时间复杂度为O(n)
5.更新日志
2022.5.8 整理
2022.6.14 更新
欢迎交流、讨论、指正~
不正确、不理解之处欢迎评论留言~
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