计算 e − x 2 e^{-x^2} e−x2的积分

下面讨论如何计算以下积分
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} dx= \sqrt{\pi} ∫−∞∞e−x2dx=π
∫ 0 ∞ e − x 2 d x = π 2 \int_{0}^{\infty}e^{-x^2} dx= \frac{\sqrt{\pi}}{2} ∫0∞e−x2dx=2π

1.利用极坐标

A = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x A = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} dx A=∫−∞∞e−x2dx

B = ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y B = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2} dy B=∫−∞∞e−y2dy
可以知道， A = B A = B A=B成立，因为只有参数不同
则有

A B = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − x 2 e − y 2 d x d y = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 ∞ 1 2 e − r 2 d r 2 = 2 π ∫ 0 ∞ 1 2 e − r 2 d r 2 = − π e − r 2 ∣ 0 ∞ = π \begin{aligned} AB & = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2} dy\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} e^{-y^2} dxdy\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)} dxdy\\ &=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2} rdrd\theta\\ &=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\infty}e^{-r^2} rdr\\ &=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\infty}\frac{1}{2}e^{-r^2} dr^2\\ &=2\pi\int_{0}^{\infty}\frac{1}{2}e^{-r^2}dr^2\\ &=-\pi e^{-r^2}\bigg|_0^\infty\\ &=\pi \end{aligned} AB=∫−∞∞e−x2dx∫−∞∞e−y2dy=∫−∞∞∫−∞∞e−x2e−y2dxdy=∫−∞∞∫−∞∞e−(x2+y2)dxdy=∫02π∫0∞e−r2rdrdθ=∫02πdθ∫0∞e−r2rdr=∫02πdθ∫0∞21e−r2dr2=2π∫0∞21e−r2dr2=−πe−r2∣∣∣∣0∞=π
得到 A B = π AB=\pi AB=π,由 A = B A=B A=B,得到 A = π A = \sqrt{\pi} A=π
即
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} dx= \sqrt{\pi} ∫−∞∞e−x2dx=π
注意到 e x 2 e^{x^2} ex2是偶函数，由偶函数的性质，得到
∫ 0 ∞ e − x 2 d x = π 2 \int_{0}^{\infty}e^{-x^2} dx= \frac{\sqrt{\pi}}{2} ∫0∞e−x2dx=2π

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