给出"第二型曲面积分"的一种计算方法,即在曲面的参数形式下直接将曲面积分转化成参数区域上的一个二重积分,由此可使"第二型曲面积分"的计算问题得到简化.此法是对菲赫金哥尔茨《微积分学教程》所给"第二型曲面积分的参数形式计算"的一个改进

Vol.13,No.1　　　　　　　　　　高等数学研究Jan.,2010STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS

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第二型曲面积分的参数形式计算

甘泉

(西安工业大学数理系,西安,710032)

摘要　给出“第二型曲面积分”的一种计算方法,即在曲面的参数形式下直接将曲面积分转化成参数区域

上的一个二重积分,由此可使“第二型曲面积分”的计算问题得到简化.此法是对菲赫金哥尔茨《微积分学教程》所给“第二型曲面积分的参数形式计算”的一个改进.

关键词　第二型曲面积分;参数变量;第二型曲面积分计算的改进.

O172.2

第二型曲面积分的计算一般而言是比较复杂的,之所以如此,就在于需要考虑曲面的定向,以及曲面的面积微分在三个坐标平面上的投影——,际上,,,并进行计算,从而避免了“曲面积分在三个坐标平面上的投影”所带来的复杂性.然而不幸的是,这一有效而便捷的方法却未能受到应有的重视,其原因在于微积分经典教程对这一方法的讲解与推证不够明晰和简练,从而难以将其应用到第二型曲面积分的实际计算当中.例如,按照文[1]的推导,最终可得如下公式:

Σ,即x(u,v)等.Duv进行划就可以得到曲面Σ上的一个相应的,这使得通过φ从而将Σ上的(曲面)积分“转移到”Duv上的(二重)积分成为可能;另外,如果固定v

(u,y)即在Σ上划出了一条而让u变化,则r “纬线”,

(u,v)便在Σ上划出了而如果固定u并让v变化,则r

一条“经线”.设

P0(u,v),P1(u+du,v),

P2(u,v+dv),P3(u+du,v+dv)

为Duv内的四个点,它们组成P0点附近的一个无穷

),则小矩形(其du>0与dv>0均为“无穷小量”

Q0=φ(P0),Q1=φ(P1),Q2=φ(P2),Q3=φ(P3)

为Σ上的四个点,Σ上的一个无穷小平行四边形(即如Q0Q1Q2Q3,事实上可以推导出

Q0Q1Q2Q3Q0Q1Q0Q2),其“向

虽然这里已将曲面积分转化成了二重积分,但等式右

端正负号的选取仍需要根据曲面Σ的具体定向而进行判别(而这种判别本身又带来了新的复杂度).下面将给出一个与如上公式在形式上稍有不同的公式,从而使计算真正得到简化.

设曲面Σ由映射φ:Duv→R3给出(即由uOv坐标平面上的一个二维区域Duv到Oxyz三维直角坐标空间R3的映射),则φ显然等同于

x=x(u,v),

y=y(u,v),　(u,v)∈Duv.z=z(u,v)

,

κPdydz+Qdzdx+Rdxdy=±

κ(PA+QB+RC)dudv.

Σ

Duv

量面积”Q0Q1Q0Q2Σ在P0点处的法向量,其几何面积正是该法向量的模.如果设

F{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}

为R3,并且假设Σ的定向与Q0Q1Q0Q2,则混合积

F (Q0Q1Q0Q2便正是向量场穿过该无穷小平行四边形面积的“通

量”,因此如果将这些“无穷多个无穷小通量”累加在一起,便可得到“ F穿过Σ的总通量”,换言之,即可得到“的值.不难得

(u+du,v)-r (u,v)=duQ0Q1=r

为曲面Σ上P0点处“纬线”的切向量,而

(u,v+dv)-r (u,v)=dvQ0Q2=r

而Σ的向量形式则为

(u,v)={x(u,v),y(u,v),z(u,v)}.r =r

收稿日期:2008-06-16.

基金项目:西安工业大学校长基金(XGYXJJ-0831,XAGDXJJ0929).作者简介:甘泉(19602),男,陕西西安人,副教授,主要从事非线性分

析研究,E_mail:gaodengmath@http://www.wendangwang.com.

为曲面Σ上P0点处“经线”的切向量,并且显然可得

(u+du,v)-r (u,v),drur {x′u,y′u,z′u}du=u,