伪目录

1. 给出支配树的定义
2. 给出一些性质
3. 介绍快速构造支配树的Lengauer-Tarjan算法及具体实现

支配树是啥

一个有源点的有向图，其支配树是满足下面条件的一个有向图：

对于支配树上一点，若断开此点，则源点必定不能到达它的任何儿子，并且能到达其他任意一个点。

不显然的，它是一棵树（当然后面会有证明）

支配树有很多实际用途，我都不知道。

一些性质

对于一个有向图，假设源点为rrr，先从rrr出发构造一棵dfs树。

定义：对于一个点uuu，若一支配uuu的点www满足w̸=uw\not= uw̸​=u并且www被支配uuu的其他不含uuu的支配点支配，则www就是uuu的最近支配点，记作idom(u)idom(u)idom(u)。

通俗的讲，www是离uuu最近的那个支配点，并且能恰好支配uuu。

Lemma 1: 支配关系不存在环。

Proof: 若aaa支配bbb，那么rrr到bbb必定经过aaa，若bbb支配aaa则到达bbb需要经过aaa，此时并没有经过bbb，产生矛盾。

Lemma 2: 除源点外，其他点有且仅有一个最近支配点。

Proof: 若aaa支配bbb，bbb支配ccc，则aaa支配ccc；若aaa支配ccc，bbb支配ccc，那么aaa支配bbb或bbb支配aaa，否则可以找到一条路径不经过aaa而到达ccc而矛盾。因此支配uuu的所有点的集合构成了一个全序关系，因此总可以找到一个点满足上述最近支配点的定义。

Theorem 1: 若连接一个点和其最近支配点，那么这张图构成了一棵树，并且满足支配树的定义。

Proof: 由Lemma 1和Lemma 2可以得到这张图就是一棵树。容易证明，若断开uuu，则源点不可能到达uuu的任意一个儿子。对于其他点，由支配树的定义和Lemma 2可以推导出这个点不会受到uuu是否断开的影响。

由Theorem 1，若得到了所有点的idomidomidom，则容易构造出这张图的支配树。

那么怎么求idomidomidom呢？

首先定义：定义一个点uuu的半支配点www为存在路径w→uw\rightarrow uw→u，使得除了www，这条路径上任意一个点的dfs序都大于等于uuu的dfs序，并且www是所有满足条件的点中最小的那个，记作sdom(u)sdom(u)sdom(u)。

Lemma 3: 对于任意一点u̸=ru\not=ru̸​=r，idom(u)idom(u)idom(u)为uuu在dfs树上的祖先。

Proof: 若不是祖先，则可以找到一条只经过树边的路径，必定不经过idom(u)idom(u)idom(u)。

Lemma 4: 对于任意一点u̸=ru\not=ru̸​=r，sdom(u)sdom(u)sdom(u)为uuu在dfs树上的祖先。

Proof: 若不是祖先，若其dfs序小于uuu的dfs序，则dfs时必定会经过sdom(u)sdom(u)sdom(u)而到达uuu，此时sdom(u)sdom(u)sdom(u)就是uuu的祖先，产生矛盾；否则，则可以找到一个点www为sdom(u)sdom(u)sdom(u)在dfs树上的祖先，路径w→sdom(u)→uw\rightarrow sdom(u)\rightarrow uw→sdom(u)→u是一条满足定义的路径，并且www的dfs序小于sdom(u)sdom(u)sdom(u)的dfs序，产生矛盾。

Lemma 5: 对于任意一点u̸=ru\not=ru̸​=r，idom(u)idom(u)idom(u)为sdom(u)sdom(u)sdom(u)在dfs树上的祖先。

Proof: 若不是祖先，则可以找到一条r→sdom(u)→ur\rightarrow sdom(u)\rightarrow ur→sdom(u)→u的路径，其中r→sdom(u)r\rightarrow sdom(u)r→sdom(u)经过dfs树边，显然不经过idom(u)idom(u)idom(u)；sdom(u)→usdom(u)\rightarrow usdom(u)→u这段路径上任意一个点的dfs序大于uuu，由于Lemma 3，这段路径也不经过idom(u)idom(u)idom(u)，因此找到了一条路径可以绕过idom(u)idom(u)idom(u)，产生矛盾。

Lemma 6: 对于任意两点u̸=r,v̸=ru\not=r,v\not=ru̸​=r,v̸​=r，若uuu是vvv的祖先，则uuu是idom(v)idom(v)idom(v)的祖先或idom(v)idom(v)idom(v)是idom(u)idom(u)idom(u)的祖先（上面两种情况都可以相等）。

Proof: 否则idom(u)idom(u)idom(u)是idom(v)idom(v)idom(v)的祖先，idom(v)idom(v)idom(v)是uuu的祖先，那么存在一条路径能绕过idom(v)idom(v)idom(v)而到达uuu进而到达vvv，产生矛盾。

Theorem 2: 对于任意一点u̸=ru\not=ru̸​=r，若sdom(u)→usdom(u)\rightarrow usdom(u)→u只经过树边的路径上，不包括sdom(u)sdom(u)sdom(u)的任意一点vvv都满足sdom(u)sdom(u)sdom(u)是sdom(v)sdom(v)sdom(v)的祖先或二者相等，则idom(u)=sdom(u)idom(u)=sdom(u)idom(u)=sdom(u)。

Proof: 由Lemma 5，若sdom(u)sdom(u)sdom(u)支配uuu，则idom(u)=sdom(u)idom(u)=sdom(u)idom(u)=sdom(u)。对r→ur\rightarrow ur→u的任意一条路径，取dfs序最大的点www满足www是sdom(u)sdom(u)sdom(u)的祖先；取dfs序最小的点xxx，满足sdom(u)sdom(u)sdom(u)是xxx的祖先或二者相等，容易发现这样的点必定存在。那么sdom(x)sdom(x)sdom(x)的就是www，但是www是sdom(u)sdom(u)sdom(u)的祖先，因此x=sdom(u)x=sdom(u)x=sdom(u)，那么任何r→ur\rightarrow ur→u的路径必定经过sdom(u)sdom(u)sdom(u)，因此sdom(u)sdom(u)sdom(u)支配uuu。

Theorem 3: 对于任意一点u̸=ru\not=ru̸​=r，若sdom(u)→usdom(u)\rightarrow usdom(u)→u只经过树边的路径上，不包括sdom(u)sdom(u)sdom(u)的点中，对于sdom(v)sdom(v)sdom(v)的dfs序最小的vvv，满足sdom(v)sdom(v)sdom(v)是sdom(u)sdom(u)sdom(u)的祖先，那么idom(u)=idom(v)idom(u)=idom(v)idom(u)=idom(v)。

Proof: 由Lemma 5和Lemma 6，idom(u)idom(u)idom(u)是idom(v)idom(v)idom(v)的祖先或二者相等。因此只要证明idom(v)idom(v)idom(v)支配uuu即可。类似Theorem 2的证明，取www为idom(v)idom(v)idom(v)的祖先，xxx为idom(v)idom(v)idom(v)的后代或二者相等，那么sdom(x)sdom(x)sdom(x)为www，又由于sdom(v)sdom(v)sdom(v)是最大的，因此xxx不可能是sdom(u)sdom(u)sdom(u)的后代；若xxx是sdom(u)sdom(u)sdom(u)的祖先或相等，但是是idom(v)idom(v)idom(v)的后代，那么就找到了一条绕过idom(v)idom(v)idom(v)而到达vvv的路径。因此xxx就是idom(v)idom(v)idom(v)。那么所有路径都经过idom(v)idom(v)idom(v)，因此idom(v)idom(v)idom(v)支配uuu。

由Theorem 2和Theorem 3，我们可以轻松的由sdomsdomsdom求出idomidomidom了。

Theorem 4: 对于任意一点u̸=ru\not= ru̸​=r，sdom(u)sdom(u)sdom(u)是满足下列条件两条件的dfs序最小的xxx：1. 存在一条边x→ux\rightarrow ux→u且xxx的dfs序小于uuu的dfs序；2. x=sdom(v)x=sdom(v)x=sdom(v)，vvv的dfs序大于uuu的dfs序，并且存在一个点www满足存在一条边w→uw\rightarrow uw→u且vvv是www的祖先或相等。

Proof: 显然对于每一个xxx，都存在一条满足sdomsdomsdom要求的路径。由于sdom(u)sdom(u)sdom(u)后面的点dfs序一定大于等于uuu，取sdom(u)sdom(u)sdom(u)的后面一个点vvv，那么sdom(v)sdom(v)sdom(v)的dfs序必定等于sdom(u)sdom(u)sdom(u)，并且vvv符合上述条件。

由Theorem 4可以很方便的求出sdomsdomsdom。

具体实现

以dfs序的倒序枚举每个点，假设有一个数据结构，支持：将一个点作为另外一个点的父亲；查询这个点到根的sdomsdomsdom最小值。

设当前枚举的点为uuu，可以枚举uuu的前驱xxx，那么sdom(u)sdom(u)sdom(u)就是uuu的前驱在数据结构上的sdomsdomsdom最小值的最小值。

对于uuu的父亲ttt，每个sdom(w)=tsdom(w)=tsdom(w)=t并且www是uuu的后代或二者相等的www在数据结构上的sdomsdomsdom最小值就是Theorem 2和Theorem 3描述的最小值，直接更新www的idomidomidom即可。

注意Theorem 3中vvv的idomidomidom可能还没有被更新，那么暂时令idom(w)=vidom(w)=vidom(w)=v，之后若idom(w)̸=sdom(w)idom(w)\not=sdom(w)idom(w)̸​=sdom(w)就更新成idom(idom(w))idom(idom(w))idom(idom(w))。

数据结构可以采用带权并查集，时间复杂度O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)

代码

//dfn[i]为i的dfs序，idfn[i]是dfs序为i的点，het[i]是i的所有前驱，bkt[i]是所有sdom为i的点
//eval(i)为找到并查集中这个点到父亲的sdom中dfs序最小的那个
int getidom()
{for(int i=cnt; i>1; --i){int u=idfn[i];for(int v:het[u]){if(!dfn[v]){continue;}int w=eval(v);if(dfn[sdom[w]]<dfn[sdom[u]]){sdom[u]=sdom[w];}}bkt[sdom[u]].push_back(u);int t=fa[u];dsu::fa[u]=t;for(int v:bkt[t]){int w=eval(v);idom[v]=(sdom[w]==sdom[v])?t:w;}bkt[t].clear();}for(int i=2; i<=cnt; ++i){int u=idfn[i];idom[u]=(idom[u]==sdom[u])?(idom[u]):(idom[idom[u]]);}return 0;
}