Lengauer-Tarjan算法--支配树构造（bzoj 2815: [ZJOI2012]灾难）

模型：

一个有向图G，设定一个点r，要求点r能到达G中所有的点，如果这样的点不存在，新建并向所有入度为0的点连边

支配点：

对于点u，如果在删掉点p之后，r不能到达u，那么称p(p!=u)点是u点的一个支配点，规定idom[u]为u点的最近支配点，注意r点可以是u点的最近支配点

支配树：

r为根，所有的idom[u]向u连一条边，可以形成一棵树

很好发现：①idom[u]是u的父亲，②从根到u上的所有点都是u的支配点

引用一张图：

主要问题：如何求出支配树

先求出DFS树和DFS序，如上图：

设dfn[x]为x点的dfs序，有

半支配点：若u是v的祖先，且存在一条u到v的路径，路径上所有点i(i!=u && i!=v)都满足dfn[i]>dfn[v]，那么称u点是v点的一个半支配点（相当于从u到v有两条完全独立，没有交点的路径，或者u是v的父亲，例如图中的8->12，2->6->4），规定sdom[u]为dfn[]最小的半支配点

性质①：若dfn[u]<dfn[v]，那么u点到v点的所有路径一定都经过u和v的最近公共祖先

性质②：对于除了r以外的所有点x，在DFS树中，idom(x)和sdom(x)一定都是x的祖先（不包括x），并且idom(x)一定是sdom(x)的祖先（包括sdom(x)，也就是说可能idom(x)==sdom(x)）

性质③：对于DFS树上两点x和y，如果x是y的祖先，要不idom(y)在x->y这条路径上，要不idom(y)是iodm(x)的祖先（当然可能idom(y)==iodm(x)）

定理①：对于DFS树上某点x，如果从sdom(x)到x的这段路径上（不包括sdom(x)，包括x）所有点i都满足sdom(i)也在这个路径上（包括sdom(x)），那么idom(x)=sdom(x)

定理②：对于DFS树上某点x，定义从sdom(x)到x的这段路径上（不包括sdom(x)，包括x）所有点i中dfn[sdom(i)]最小的那个点是y，如果sdom(y)==sdom(x)，那么idom(x) = sdom(x)，否则idom(x) = idom(y)

其实定理②已经包含定理①了

Lengauer-Tarjan算法：

步骤①输入，如果入度为0的点不止一个，新建一个节点r连向所有入度为0的点，将其作为支配树的根

G[]：有向图； Gp[]：G[]的反向图

in[x]：x点的入度

步骤②DFS一遍求出DFS序和DFS树，并用DFS序对每个点重新标号

dfn[x]：x点的dfs序

rak[cnt]：dfs序为cnt的是几号点

fa[x]：DFS树中x节点的父亲

步骤③求出所有的sdom()

val[k]：k是点，val[k]也是点，具体用途看下面：

sdom[u]：u点的最小半支配点

初始化sdom[x] = x，val[x] = x

一个点u的sdom有两种情况：

1. sdom[u] = fa[u]；

2. 若dfn[v]>dfn[u]，且v的某个子孙x满足x到u在原图中有一条边，那么sdom[u] = min(sdom[u], sdom[v])

翻译过来就是：若dfn[x]>dfn[u]，且x到u有一条非树边，那么x到(x,u)最近公共祖先（不包括祖先）这段链上所有点的sdom[]都一定是u点的半支配点

那可以从dfs[]最大的点开始遍历，对于当前点u，遍历原图中所有与u的前驱k，

sdom[u] = min(sdom[val[k]] (k为u的所有前驱))

很显然k只有两种情况：

1. k点是u点的父亲，这时val[k] = k且sdom[k] = k刚好是上面sdom[]的第一种情况；

2. k点满足dfn[k]>dfn[u]，这时只要能够快速查找k到(k,u)最近公共祖先这段链上所有点sdom[]值最小的那个点val[k]即可！主要是如何快速求出k到u这段链上所有点sdom[]值最小的那个，也就是快速求确定所有点的val[]，其中val[]还会因当前u点的不同而改变，这里可以用带权并查集实现

举个例子：还是这张图

假设当前u遍历到了4，枚举点4的所有前驱(k = 3, 6, 7)

k = 3时，点3还没被遍历，并且正好是4点的父亲，sdom[4] = sdom[val[3]] = sdom[3] = 3

然后k = 6，点6已经被遍历，根据上面红色粗斜体可得val[6] = 6，这时有sdom[4] = min(3, sdom[val[6]]) = 2

然后k = 7，点7已经被遍历，依旧可得val[7] = 6，这时有sdom[4] = min(3, sdom[val[7]]) = 2

得出sdom[4] = 4，具体遍历下一个点3

步骤④根据上面的定理，求出所有点的idom[]

Sp[]：Sp[x]中存的所有点i，都满足sdom[i] = dfn[x]

再回顾下那个定理：从sdom(x)到x的这段路径上（不包括sdom(x)，包括x）所有点i中dfn[sdom(i)]最小的那个点是y，如果sdom(y)==sdom(x)，那么idom(x) = sdom(x)，否则idom(x) = idom(y)

注意上面的红色部分！它正好是带权并查集所维护的，也就是说，如果当前u遍历到了sdom[v]的儿子，所有点i中dfn[sdom(i)]最小的那个正是点val[v]！这时直接判定就好了！

可是当sdom[val[v]]!=sdom[v]时，你不能直接idom[v] = idom[val[v]]，因为val[v]点的idom[]值可能还未求出

那么就暂时idom[v] = val[v]，等处理完毕之后，遍历所有点（注意这个是原标号！），若idom[p]!=rak[sdom[p]]，就让idom[p] = idom[idom[p]];

步骤⑤构造支配树

到这一步就简单了，所有的idom[i]到i连一条边，最后形成的就是如假包换的支配树

不过sdom[]存的不是原标号，可以恢复原标号（也可以不管它了反正没用了）

支配树模板：

HDU 4694: Important Sisters

支配树裸题

A吃B，那么B到A连一条有向边，之后求出支配树

每个节点的答案就是支配树中以当前节点为根的子树大小-1

#include<stdio.h>
#include<vector>
using namespace std;
int dfn[200005], rak[200005], fa[200005], sdom[200005], idom[200005];
int n, cnt, ufs[200005], val[200005], size[200005], in[200005];
vector<int> G[200005], Z[200005], Gp[200005], Sp[200005];
int Find(int p)
{int r;if(ufs[p]==p)return p;r = Find(ufs[p]);if(sdom[val[ufs[p]]]<sdom[val[p]])val[p] = val[ufs[p]];return ufs[p] = r;
}
void Sech(int p)
{int i, v;sdom[p] = dfn[p] = ++cnt;rak[cnt] = p;for(i=0;i<G[p].size();i++){v = G[p][i];if(dfn[v]==0){Sech(v);fa[v] = p;}}
}
void Sech2(int u)
{int i, v;size[u] = 1;for(i=0;i<Z[u].size();i++){v = Z[u][i];Sech2(v);size[u] += size[v];}
}
int main(void)
{int i, x, p, j, k, v;scanf("%d", &n);n += 1;for(i=1;i<=n;i++){dfn[i] = in[i] = 0;ufs[i] = val[i] = i;Gp[i].clear();Sp[i].clear();Z[i].clear();}for(i=1;i<=n-1;i++){while(scanf("%d", &x), x!=0){G[x].push_back(i);Gp[i].push_back(x);in[i]++;}}for(i=1;i<=n-1;i++){if(in[i]==0){G[n].push_back(i);Gp[i].push_back(n);}}Sech(n);for(i=n;i>=2;i--){p = rak[i];for(j=0;j<Gp[p].size();j++){k = Gp[p][j];/*if(dfn[k]){*/Find(k);sdom[p] = min(sdom[p], sdom[val[k]]);//}}ufs[p] = fa[p];Sp[rak[sdom[p]]].push_back(p);for(j=0;j<Sp[fa[p]].size();j++){v = Sp[fa[p]][j];Find(v);if(sdom[val[v]]==sdom[v])idom[v] = rak[sdom[v]];       //同理：idom[v] = fa[p];elseidom[v] = val[v];}Sp[fa[p]].clear();}for(i=1;i<=n;i++){p = rak[i];if(idom[p]!=rak[sdom[p]])idom[p] = idom[idom[p]];}/*for(i=2;i<=n;i++){p = rak[i];sdom[p] = rak[sdom[p]];}*/for(i=1;i<=n-1;i++)Z[idom[i]].push_back(i);Sech2(n);for(i=1;i<=n-1;i++)printf("%d\n", size[i]-1);return 0;
}
/*
13 21
1 2   11 12   7 4
2 3   12 13   6 4
3 4   1 11
4 5   8 12
2 6   13 10
6 7   10 9
1 8   10 5
8 9   5 1
9 10  5 4
8 115 5
1 2
2 3
3 4
4 5
5 15
0
1 0
1 0
2 3 0
2 0
*/

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