stata实证分析专题【计量经济系列（三）】

文章目录

1. 数据
2. 有常数项的回归
3. 无常数项的回归
4. 多元回归
5. 对部分满足条件数据做回归
6. predict
7. 系数的检验 test
8. 多元线性回归的古典假定
9. 练习

ʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞ

1. 数据

use grilic,clear
list s lnw in 1/10

2. 有常数项的回归

reg lnw s

其中
SS中Model 表示可以被模型解释的平方和(回归解释平方和)，即ESS。
SS 中 Residual 表示残差平方和（未解释平方和），即RSS。

df表示自由度

MS表示单位自由度的平方和，MS=SSdf\displaystyle MS=\frac{SS}{df}MS=dfSS，MS可以用来反映数据的变动趋势，对回归分析有一定参考价值。

Number of obs 表示观测值（数据）的个数

F(1, 756)表示检验整个方程显著性的F 统计量，即F(k−1,n−k)F(k-1,n-k)F(k−1,n−k)的值，这个在多元回归中更具有研究意义，但是这里还是要先讲一下：
其中k是2，表示有一个常数项，一个自变量的自由度之和为2。
k-1表示减去常数项的自由度。n是758，即758个样本数据的自由度。
将F值与临界值Fα(k−1,n−k)F_{\alpha}(k-1,n-k)Fα(k−1,n−k)的大小比较，
在5%的置信水平下，因为n-k大于了120，则视为无穷大，即Fα(1,∞)F_{\alpha}(1,\infty)Fα(1,∞)值为3.84，F(1, 756)值为255.7，远大于它，则应拒绝原假设N0N_0N0：β_1=β_2=…=0(即模型联合不显著)。表明模型是联合显著的。

在使用stata等工具时，相比F值，更常用的是P值。

Prob>F 即P值，
在此例中，
P值为0，即在0.1、0.05、0.02、0.01的显著性水平下，P值都小于他们，也可以得出拒绝原假设的结论，即模型是联合显著的。

R-squared即R2R^2R2，可决系数，或拟合优度。
Adj R-squared 即修正可决系数

R‾2=1−∑ei2/(n−k)∑(Yi−Y‾)2/(n−1)=1−n−1n−k∑ei2∑(Yi−Y‾)2\overline{R}^2=1-\frac{\sum{e_i^2}/(n-k)}{\sum{(Y_i-\overline{Y})^2}/(n-1)}=1-\frac{n-1}{n-k}\frac{\sum{e_i^2}}{\sum{(Y_i-\overline{Y})^2}}R2=1−∑(Yi−Y)2/(n−1)∑ei2/(n−k)=1−n−kn−1∑(Yi−Y)2∑ei2

Root MSE是均方根误差，也叫方程的标准偏差或方程的标准误差。
其不同于标准差

标准差是用来衡量一组数自身的离散程度，而均方根误差是用来衡量观测值同真值之间的偏差，它们的研究对象和研究目的不同，但是计算过程类似。

计算公式为
Root MSE =di2n\displaystyle = \sqrt{\frac{di^2}{n}}=ndi2 =(yi−yi^)2n\displaystyle=\sqrt{\frac{{(y_i−\hat{y_i})}^2}{n}}=n(yi−yi^)2

其中yiy_iyi是真实值，yi^\hat{y_i}yi^是拟合值。而是方差和标准差中则是真实值减去均值进行计算的。

"Coef."表示回归系数（Coefficient），
"_cons"表示常数项（constant）

所以此处得到的回归线为：

ln⁡w^=4.391+0.097s\displaystyle \hat{\ln{w}}=4.391 + 0.097slnw^=4.391+0.097s

t表示T统计量的值，可以与临界值相比较。
P>|t| 即P值。将其与目标显著性水平相比较，具体不再赘述。

[95% Conf. Interval]则表示置信水平为95%的置信区间。

绘制散点图与回归线

twoway (scatter lnw s)(lfit lnw s)

3. 无常数项的回归

少数情形，我们希望在做回归的时候施加一定的约束，即x=0时y=0，即截距为零。比如对于一对密度不尽相同的石头，当其体积为0时，质量一定也为0。

noc全称为noconstant

reg lnw s,noc

上边解释得太详细了，这里的输出结果就不再一一解释了。

两次计算R2R^2R2的公式是不相同的，
如果使用原来的公式计算没有常数项的方程R2R^2R2，即

1−∑i=1n(yi−β1xi)2∑i=1n(yi−y‾)2\displaystyle 1-\frac{\sum_{i=1}^{n}{(y_i-\beta_1x_i)^2}}{\sum_{i=1}^{n}{(y_i-\overline{y})^2}}1−∑i=1n(yi−y)2∑i=1n(yi−β1xi)2

则计算结果为负值。

这里的的R2R^2R2是由新的公式：

1−∑i=1n(yi−β1xi)2∑i=1nyi2\displaystyle 1-\frac{\sum_{i=1}^{n}{(y_i-\beta_1x_i)^2}}{\sum_{i=1}^{n}{y_i^2}}1−∑i=1nyi2∑i=1n(yi−β1xi)2

计算出的。

通过两次回归，可以看到前者仅有0.2527，而后者高达0.9798。无常数项的R2R^2R2和有常数项的R2R^2R2之间是不可比的。
在合适的情形下选择不具有常数项的模型，会更具有经济意义。

而且，无常数项的回归结果得到的系数0.4154作为投资回报率，明显是不合理的。
而从有常数项的回归结果中，可以看到常数项的P值为0，说明拒绝原假设，常数项是显著不为0的，也说明此模型的选择应该有常数项。

4. 多元回归

reg lnw s expr tenure smsa rns

图表读法同上文所述。

回归系数协方差矩阵 vce

vce指的是 variance covariance matrix estimated
使用命令vce可以实现显示回归系数的协方差矩阵。
其对上一次回归命令的回归结果进行操作，而不需要指定参数。

vce

5. 对部分满足条件数据做回归

其中rns有0和1两种取值，0表示北方，1表示南方，
如果只对南方居民样本进行回归

reg lnw s expr tenure smsa if rns

反之，只对北方居民做回归，则使用波浪线符号 ~ 表示逻辑否：

reg lnw s expr tenure smsa if ~rns

对变量s大于等于12且rns为1的数据，且不要常数项：

reg lnw s expr tenure smsa if rns & s>=12,noc

6. predict

使用predict求被解释变量的拟合值，并生成一列新的变量lnw1

use grilic,clear
quietly reg lnw s expr tenure smsa rns
predict lnw1

其中在命令前加quietly命令，可以使命令悄无声息地执行，而不汇报结果。
使用predict前需要先做回归。
生成的新变量lnw1如图所示，即为被解释变量的拟合值。

使用predict求计算残差，并生成一列新的变量e

use grilic,clear
quietly reg lnw s expr tenure smsa rns
predict e,residual

7. 系数的检验 test

使用test命令可以实现对回归系数的检验

还使用grillic数据，
检验教育投资回报率是否为0.1
原假设H0H_0H0即为：β2=0.1\displaystyle \beta_2=0.1β2=0.1:

use grilic,clear
quietly reg lnw s expr tenure smsa rns
test s=0.1

命令执行效果如下：

这里汇报看F统计量的值和P值。
由P值等于0.6515过大，故这里无法拒绝原假设。

8. 多元线性回归的古典假定

yi=β1+β2xi2+...+βkxik+ϵi\displaystyle y_i =\beta1+\beta2 x_{i2}+...+\beta k x_{ik} +\epsilon_iyi=β1+β2xi2+...+βkxik+ϵi (i=1,...,n)(i=1,...,n)(i=1,...,n)

①零均值假定

即严格外生性（strict exogeneity），随机扰动项的条件期望为0。
此假定要求E(ϵi∣X)=E(ϵi∣x1,...,xn)=0\displaystyle E(\epsilon_i|X)=E(\epsilon_i|x1,...,x_n)=0E(ϵi∣X)=E(ϵi∣x1,...,xn)=0 (i=1,...,n)(i=1,...,n)(i=1,...,n)
严格外生性意味着，给定数据矩阵XXX，扰动项ϵi\epsilon_iϵi的条件期望为0。

②球形扰动项
即随机扰动项满足同方差、无自相关。
Cov(ui,uk)=\displaystyle Cov(u_i,u_k)=Cov(ui,uk)=

E[(ui−Eui)(uk−Euk)]\displaystyle E[(u_i-Eu_i)(u_k-Eu_k)]E[(ui−Eui)(uk−Euk)]

=E(uiuk)={σ2,i=k0,i≠k(i,k=1,2,...n)\displaystyle =E(u_iu_k)=\left\{ \begin{aligned} \sigma^2 ,i = k \\ 0 ,i ≠k \\ \end{aligned} \right.(i,k=1,2,...n)=E(uiuk)={σ2,i=k0,i=k(i,k=1,2,...n)

随机扰动项的方差-协方差矩阵为

VAR(U)=[σ20...00σ2...0.........00...σ2]=σ2In\displaystyle =\left[ \begin{matrix} \sigma^2 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \sigma^2 & ... & 0 \\ ... & ... & & ... \\ 0 & 0 & ... & \sigma^2 \\ \end{matrix} \right]=\sigma^2I_n=⎣⎢⎢⎡σ20...00σ2...0.........00...σ2⎦⎥⎥⎤=σ2In

③随机扰动项与解释变量不相关假定
Cov(Xji,ui)=0Cov(X_{ji},u_i)=0Cov(Xji,ui)=0 (j=2,3,...,k;i=1,2,...,n)(j=2,3,...,k;i=1,2,...,n)(j=2,3,...,k;i=1,2,...,n)

④无多重共线性假定
不存在“严格多重共线性”
即数据矩阵XXX满列秩。
即数据矩阵各列向量线性无关，不存在哪个解释变量是另一个解释变量的倍数，或者说可以被其他解释变量线性表示的情况。

⑤正态性假定
随机扰动项uiu_iui服从正态分布
uiu_iui~N(0,σ2)N(0,σ^2)N(0,σ2)

9. 练习

数据集 airq. dta包含1972年美国加州30个大城市的如下变量:airq(空气质量指数,越低越好) , vala(公司的增加值,千美元) , rain(降雨量,英寸) , coast(是否为海岸城市) , den-sity(人口密度,每平方英里) , income(人均收入,美元)。
(1)把airq对其他变量进行OLS回归。
(2)检验原假设“平均收入对空气质量没有影响”。
(3）检验经济变量density 与 income的联合显著性。
(4)检验环境变量rain 与coast的联合显著性。
(5)检验所有解释变量的联合显著性。

use airq,clear

（1）

reg airq vala rain coast density income

（2）

test income=0

（3）

test density income

（4）

test rain coast

（5）

test vala rain coast density income

本次分享就到这里，小啾感谢您的关注与支持！

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