【五校联考5day2】光棍

题意

给你t个区间，让你求这个区间之间中不满足这三个条件之一的数的平方和。
1. S是a的倍数。
2. S在十进制表示下的各项数字加起来是a的倍数。
3. S的某一位是a

数据范围

对于15%的数据,0<=L<=R<=106,T=10
对于35%的数据,0<=L<=R<=107,T=10
另外有25%的数据,A=2,L=10k,R=10v,A = 2,L = 10^k,R = 10^v,k和v都是自然数。
对于100%的数据,0<=L<=R<=1018,2<=A<=9,T<=1000

分析

一看就明显的数位dp数位dp，考试后还是第一次听说这个东东，所以就恶补了一下数位dpdp。。
首先按照惯例，我们要设一个f[i,same,mo,sum]f[i,same,mo,sum]表示枚举到第i位数（从高到低），前面i位是否与右边界相同（为了方便统计答案），前面i位组成的数对aa取模的数，前面i位各个位加起来的和对aa取模的数，的方案。那么有了这个通常还要再设一个g[i,same,mo,sum]g[i,same,mo,sum]为这些数的和（为了方便统计后面的平方和），最后就是s[i,same,mo,sum]s[i,same,mo,sum]表示为这些数的平方和。

转移方程

转移很简单，我们先讨论f的转移：枚举第i+1位的数是多少ch,那么转移到第i+1位就是
f[i+1,sameand(bit[i+1]=ch),(mo∗10+ch)modA,(sum+ch)modA]+=f[i,same,mo,sum](ch<>a,当same=1,ch<=bit[i+1])f[i+1,same and (bit[i+1]=ch),(mo*10+ch)mod A,(sum+ch)mod A]+=f[i,same,mo,sum](cha,当same=1,ch
g的转移也是类似的：
g[i+1,sameand(bit[i+1]=ch),(mo∗10+ch)modA,(sum+ch)modA]+=g[i,same,mo,sum]∗10+ch∗f[i,same,mo,sum](ch<>a,当same=1,ch<=bit[i+1])g[i+1,same and (bit[i+1]=ch),(mo*10+ch)mod A,(sum+ch)mod A]+=g[i,same,mo,sum]*10+ch*f[i,same,mo,sum](cha,当same=1,ch
s的转移麻烦一点：

我们可以这样理解：（设aiai表示当前的满足条件的数，现在要加上ch）
(a1∗10+ch)2+(a2∗10+ch)2+(a3∗10+ch)2......(a1*10+ch)^2+(a2*10+ch)^2+(a3*10+ch)^2......
(a12∗100+ch2+20∗ch∗a1)+(a22∗100+ch2+20∗ch∗a2)+(a32∗100+ch2+20∗ch∗a3)......(a1^2*100+ch^2+20*ch*a1)+(a2^2*100+ch^2+20*ch*a2)+(a3^2*100+ch^2+20*ch*a3)......
合并a1+a2+a3...a1+a2+a3...->g[i,same,mo,sum]g[i,same,mo,sum]
合并a12+a22+a32....a1^2+a2^2+a3^2....->s[i,same,mo,sum]s[i,same,mo,sum]
合并ch2+ch2+ch2.....ch^2+ch^2+ch^2.....->f[i,same,mo,sum]∗ch2f[i,same,mo,sum]*ch^2
那么这样原式变成s[i,same,mo,sum]∗100+f[i,same,mo,sum]∗ch2+g[i,same,mo,sum]∗ch∗20s[i,same,mo,sum]*100+f[i,same,mo,sum]*ch^2+g[i,same,mo,sum]*ch*20
所以转移方程为：
s[i+1,sameand(bit[i+1]=ch),(mo∗10+ch)modA,(sum+ch)modA]+=s[i,same,mo,sum]∗100+f[i,same,mo,sum]∗ch2+g[i,same,mo,sum]∗ch∗20(ch<>a,当same=1,ch<=bit[i+1])s[i+1,same and (bit[i+1]=ch),(mo*10+ch)mod A,(sum+ch) modA]+=s[i,same,mo,sum]*100+f[i,same,mo,sum]*ch^2+g[i,same,mo,sum]*ch*20(cha,当same=1,ch
最后再统计mo<>0,sum<>0mo0,sum0的s即可
时间复杂度：O(T∗logR∗2∗103)O(T ∗ logR ∗ 2 ∗ 10^3)
这样便可以很好的解决问题了。

代码：（我是顺推的，所以初始化有点猥琐。。）

const m=1000000007;
varg,f,s:array[0..20,0..1,0..9,0..9] of int64;i,t,a:longint;l,r:int64;
procedure vare(var x:int64);begin if x=-1 then x:=0;end;
procedure sets(var x:longint;y:longint);
begin x:=(x+y)mod m;end;
procedure sets(i,p,mo,sum,i1,p1,mo1,sum1,k:longint);
beginvare(f[i,p,mo,sum]);vare(g[i,p,mo,sum]);vare(s[i,p,mo,sum]);f[i,p,mo,sum]:=(f[i,p,mo,sum]+f[i1,p1,mo1,sum1])mod m;g[i,p,mo,sum]:=(100*g[i1,p1,mo1,sum1]+20*k*s[i1,p1,mo1,sum1]+k*k*f[i1,p1,mo1,sum1]+g[i,p,mo,sum])mod m;s[i,p,mo,sum]:=(s[i1,p1,mo1,sum1]*10+k*f[i1,p1,mo1,sum1]+s[i,p,mo,sum])mod m;
end;
function solve(x,y:int64):int64;
var i,j,mo,sum,ch,t,o,p:longint;bit,ti:array[0..100] of integer;ans:int64;
beginif x=0 then exit(0);fillchar(f,sizeof(f),255);fillchar(g,sizeof(g),255);fillchar(s,sizeof(s),255);o:=0;while x<>0 do begininc(o);bit[o]:=x mod 10;x:=x div 10;end;for i:=1 to o do ti[i]:=bit[o-i+1];bit:=ti;for i:=0 to bit[1] do if y<>i then beginif i=bit[1] then t:=1 else t:=0;vare(g[1,t,i mod y,i mod y]);vare(f[1,t,i mod y,i mod y]);vare(s[1,t,i mod y,i mod y]);inc(g[1,t,i mod y,i mod y],i*i);inc(f[1,t,i mod y,i mod y],1);inc(s[1,t,i mod y,i mod y],i);end;for i:=1 to o-1 dofor p:=0 to 1 dofor ch:=0 to 9 do if (p=1)and(bit[i+1]<ch) then breakelse beginif ch=y then continue;for mo:=0 to y dofor sum:=0 to y do beginif f[i,p,mo,sum]=-1 then continue;if (p=1)and(ch=bit[i+1]) then t:=1 else t:=0;if ch=5 theno:=o;sets(i+1,t,(mo*10+ch)mod y,(sum+ch)mod y,i,p,mo,sum,ch);end;end;ans:=0;for p:=0 to 1 dofor mo:=0 to y dofor sum:=0 to y doif (g[o,p,mo,sum]<>-1)and(sum<>0)and(mo<>0) thenans:=(ans+g[o,p,mo,sum])mod m;exit(ans);
end;
beginreadln(t);for t:=1 to t do beginreadln(l,r,a);writeln((solve(r,a)-solve(l-1,a)+m)mod m);end;
end.