投影几何性质

平行线（Parallel Lines）

消失点（Vanishing Point）

投影几何性质

all right，让我们快速谈谈透视投影的几个几何属性。这个数字试图展示的是一些事情。

首先是点到点。这看起来很清楚。我在这里有一些点（如图1），我要把这一点放在我的地平面上，right？所以这是我的投影中心O（如图2），我看到某些点在平面内，这是图像中的那一点（如图3），right？因为它只是穿过的单一射线。

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在透视投影中其他一些事情就是线条，所以这里是一条线（如图1），投影。考虑它的一种方法就是，这是我的原点（如图2），想想它经过这里，经过那里，它扫过整个平面（如图3）。

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并且该平面与此相交（如图1），由该线在地面上形成的平面和点，中心投影沿着该线与图像平面相交（如图2）。这就是说，点不仅指向点，还要点线。

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如果直线到直线，点到点，多边形会变成什么? 它们变成水星（Mercury）。不是，多边形会变成多边形，all right? 不是复杂的事（rocket science），但这是透视投影中的线条不变形性，线条映射到我们充分利用的线条。

平行线（Parallel Lines）

透视投影中的一件很酷的事情，你已经知道的是，世界上的平行线几乎总是在图像中的某个点上相遇。所以这是一个例子（如图），它是地平面上的两条平行线，它们投射到图像中的两条线（如图2）。你可以看到它们在这一点相遇，有时被称为图像中的“消失”（Vanishing）点。典型的例子是铁路轨道，轨道本身都收敛到某一点（如图3），所以我们可以直观地思考这个问题，但真正酷的是你可以直接从数学中看到它。

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我们来想一下什么是3维空间中的直线。3维空间中的直线可以参数化为单个值和单个参数。在这种情况下，我们要用 t 。我们有x (t) y (t) z (t) （如图1）当 t 从负无穷到正无穷或者 0 到任意值时，你会沿着这条线移动。3维空间中的直线从3维空间中的某一点开始，这里是x0 y0 z0（如图2），然后它沿着某个向量移动，现在，我们用向量a b c（如图3）。a在x方向上，b在y方向上，c在z方向上，乘以 t 的值。

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现在，让我们来看看这条直线上的所有点在图像平面中的位置，all right? 对于每个x y z，已知 t 的x '和y '是多少? 我们知道 x y z 到x '的投影方程就是 fx / z ，对于 y就是 fy / z （如图1）。在这里，我们把它代入另一边关于 t 的表达式中。这就是直线上所有点的位置（如图2），但当 t 变大时，会发生什么呢? 在 t 的极限趋于无穷时，我现在假设 c 不为 0，我们等下会讲到，okay? x '的极限是fa / c。y '的极限是fb / c（如图3）。

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缺失的是什么? 缺少的是x0 y0 z0 ? 换句话说，这条线从世界的哪个点出发并不重要，我可以从这里开始，我可以从这里开始，我可以从这里开始（教授比手势）。只要这些点都朝a b c的方向移动，它们都会在图像中的这一点收敛（如图1）。这就是为什么在世界上平行的线都会收敛于一个点。轨道和沿着轨道的感觉，因为它们在同一个方向平行，它们都会聚到同一个点。

c 等于 0 是什么意思?（如图）c 等于 0意味着 z 值不变。假设我像这样拿着相机，我的像平面是垂直的，所以 z 是垂直的。如果z值不变，则表示世界上的直线与我的像平面平行。它不会离得更远或更近，它会保持平行，这些线都会保持平行线。这就是为什么我说世界上几乎所有的平行线都收敛于一点。如果平行线是垂直的或与像平面对齐的，它们不会收敛。

消失点（Vanishing Point）

这些点称为消失点（Vanishing Point）。这里证明了每组平行线（如图），即它们都在同一方向，在不同的点上相遇。另一件事是，平行线都在同一平面上，它们都会收敛到共线消失点。你知道这是地平线，这是世界上一组平行线，他们在这里收敛（如图2）。这是另一组平行线，他们会收敛在一起（如图3）。如果我有相同的平行线离开相机，他们就会像这样收敛，all right？

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而地平线就是这条线（如图），那是因为我绘制的所有平行线都在地平面上，所以它们的消失点都会收敛在地平线上。

顺便说一句，当你把图像放在一起时，它会使消失点保持一致。就像，你在这里拍摄一块建筑物，并在那里放置其他东西，而不是实际拍照，实际上有点难。所以如果你想尝试找一个假的图像。也就是说，这些内容已被Photoshop整合在一起。去你当地的超市小报，您经常可以找到消失点看起来不正确的图片，这是因为它是由图像的一部分组成的，这些图像不是用相机与这些平行线对齐的，而是以相同的方式对齐。

还有一点，也许你们中的一些人真的上过艺术课，在你们决定失去灵魂成为一名工程师之前。也许他们教会了你三点透视法。这是一张三点透视图（如图1）。基本上他们说的是如果我有一个立方体在空中，它定义了三组平行线。像左边的脸，右边的脸，和下面的。你可以看到这里画的这就是它的来源，平行线会聚到不同的消失点。

这是另一个例子（如图），我认为这是Zisserman的产品，我不确定，所以只是一个非常古雅的旧建筑。右边有一个消失点（如图2），在电线上，左边有一个消失点（如图3）。不用讨论其他的，你可以看到地平线的位置，okay，就在那边（如图4），那里的所有线路，例如地面上的会收敛的线。

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——学会编写自己的代码，才能练出真功夫。

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