被积函数等价无穷小替换

若 x→0x\rightarrow 0x→0 时 φ(x),f(x),g(x)\varphi(x),f(x),g(x)φ(x),f(x),g(x) 均为无穷小
且 x→0x\rightarrow 0x→0 时 f(x)∼g(x)f(x)\sim g(x)f(x)∼g(x)
且 φ′(x)\varphi^\prime(x)φ′(x) 存在且不为零
则当 x→0x\rightarrow0x→0 时：
∫0φ(x)f(t)dt∼∫0φ(x)g(t)dt\int_0^{\varphi(x)}f(t)dt\sim \int_0^{\varphi(x)}g(t)dt ∫0φ(x)f(t)dt∼∫0φ(x)g(t)dt
证明部分：
证明两个部分的极限为 111 即可，使用洛必达即可证明。
x→0x\rightarrow0x→0 时（下式省略 lim⁡x→0\lim_{x\rightarrow 0}limx→0），有：
∫0φ(x)f(t)dt∫0φ(x)g(t)dt=L′φ′(x)f(φ(x))φ′(x)g(φ(x))=f(φ(x))g(φ(x))=t=φ(x)f(t)g(t)=1\begin{aligned} \frac{\int_0^{\varphi(x)}f(t)dt}{\int_0^{\varphi(x)}g(t)dt} &\overset{L'}{=} \frac{\varphi^\prime(x)f(\varphi(x))}{\varphi^\prime(x)g(\varphi(x))}\\ &=\frac{f(\varphi(x))}{g(\varphi(x))}\\ &\overset{t=\varphi(x)}{=}\frac{f(t)}{g(t)}\\ &=1 \end{aligned} ∫0φ(x)g(t)dt∫0φ(x)f(t)dt=L′φ′(x)g(φ(x))φ′(x)f(φ(x))=g(φ(x))f(φ(x))=t=φ(x)g(t)f(t)=1

积分上限等价无穷小替换

若 x→0x\rightarrow0x→0 时 f(x),φ(x),ψ(x)f(x),\varphi(x),\psi(x)f(x),φ(x),ψ(x) 都是无穷小
且 x→0x\rightarrow0x→0 时，φ(x)∼ψ(x)\varphi(x)\sim\psi(x)φ(x)∼ψ(x)
且 lim⁡x→0φ′(x)ψ′(x)\lim_{x\rightarrow0}\frac{\varphi^\prime(x)}{\psi^\prime(x)}limx→0ψ′(x)φ′(x) 存在
且 f(x)f(x)f(x) 有连续导数，且 x∈U˚(0,δ),有f′(x)≠0x\in \mathring{U}(0,\delta) ,有f^\prime(x)\ne 0x∈U˚(0,δ),有f′(x)=0 ，注意下是去心领域。
那么当 x→0x\rightarrow 0x→0 时，有：
∫0φ(x)f(t)dt∼∫0ψ(x)f(t)dt\int_0^{\varphi(x)}f(t)dt \sim \int_0^{\psi(x)}f(t)dt ∫0φ(x)f(t)dt∼∫0ψ(x)f(t)dt
证明部分
x→0x\rightarrow0x→0 时（下式省略 lim⁡x→0\lim_{x\rightarrow 0}limx→0），有：
∫0φ(x)f(t)dt∫0ψ(x)f(t)dt=L′φ′(x)f(φ(x))ψ′(x)f(ψ(x))=(1)f(φ(x))f(ψ(x))=f(φ(x))−f(0)f(ψ(x))−f(0)=(2)φ(x)f′(ξ1)ψ(x)f′(ξ2)=(3)f′(0)f′(0)=1QED\begin{aligned} \frac{\int_0^{\varphi(x)}f(t)dt}{\int_0^{\psi(x)}f(t)dt} &\overset{L'}{=}\frac{\varphi^\prime(x)f(\varphi(x))}{\psi^\prime(x)f(\psi(x))}\\ &\overset{(1)}{=}\frac{f(\varphi(x))}{f(\psi(x))}\\ &=\frac{f(\varphi(x))-f(0)}{f(\psi(x))-f(0)}\\ &\overset{(2)}{=}\frac{\varphi(x)f^\prime(\xi_1)}{\psi(x)f^\prime(\xi_2)}\\ &\overset{(3)}{=}\frac{f^\prime(0)}{f^\prime(0)}\\ &=1 \qquad QED \end{aligned} ∫0ψ(x)f(t)dt∫0φ(x)f(t)dt=L′ψ′(x)f(ψ(x))φ′(x)f(φ(x))=(1)f(ψ(x))f(φ(x))=f(ψ(x))−f(0)f(φ(x))−f(0)=(2)ψ(x)f′(ξ2)φ(x)f′(ξ1)=(3)f′(0)f′(0)=1QED
（1）部分：
lim⁡x→0φ(x)ψ(x)=1\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=1 x→0limψ(x)φ(x)=1
是已知的等价无穷小，由于都有一阶导数，上下洛必达，极限不变，得到
lim⁡x→0φ′(x)ψ′(x)=1\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\varphi^\prime(x)}{\psi^\prime(x)}=1 x→0limψ′(x)φ′(x)=1
（2）部分：
中值定理：
f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)ξ∈(a,b)f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)\qquad\xi\in(a,b) f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)ξ∈(a,b)
（3）部分：
由于 f(x)f(x)f(x) 有连续导数
且 ξ∈(0,φ(x))\xi\in(0,\varphi(x))ξ∈(0,φ(x))
得到
f′(ξ)f^\prime(\xi)f′(ξ) 在 f′(0)f^\prime(0)f′(0) 和 f′(φ(x))f^\prime(\varphi(x))f′(φ(x)) 之间，夹逼定理得到 f′(ξ)=f′(0)f^\prime(\xi)=f^\prime(0)f′(ξ)=f′(0)
对于 ψ(x)\psi(x)ψ(x) 过程类似。

例题

一个随便手搓的例题
lim⁡x→0∫0ln(1+sin⁡x)sin⁡6tdtx7=lim⁡x→0∫0xsin⁡6tdtx7等价无穷小替换积分上限=lim⁡x→0∫0xt6dtx7等价无穷小替换被积函数=lim⁡x→0x7/7x7=1/7\begin{aligned} &\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\int_0^{ln(1+\sin x)}\sin^6t\ dt}{x^7}\\\ \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\int_0^x \sin^6t\ dt}{x^7}\qquad 等价无穷小替换积分上限\\\ \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\int_0^x t^6\ dt}{x^7}\qquad 等价无穷小替换被积函数\\\ \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^7/7}{x^7}\\\ \\ &=1/7 \end{aligned} x→0limx7∫0ln(1+sinx)sin6t dt=x→0limx7∫0xsin6t dt等价无穷小替换积分上限=x→0limx7∫0xt6 dt等价无穷小替换被积函数=x→0limx7x7/7=1/7
注：可以直接使用洛必达的法则验证正确性，虽麻烦点但是可以是实现的。

例题二

已知 f(x)f(x)f(x) 连续且 f(0)≠0f(0)\ne 0f(0)=0，求：
lim⁡x→0∫0xtf(t)dtx∫0xf(t)dt\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\int_0^xtf(t)dt}{x\int_0^xf(t)dt} x→0limx∫0xf(t)dt∫0xtf(t)dt
(高数辅导讲义 P114 例 6 的题目的一部分)
解：
I=(1)lim⁡x→0∫0xtf(0)dtx∫0xf(0)dt=lim⁡x→0f(0)x2/2f(0)x2=1/2\begin{aligned} I&\overset{(1)}{=}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\int_0^x tf(0)dt}{x\int_0^xf(0)dt}\\\ \\ &=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(0)x^2/2}{f(0)x^2}\\\ \\ &=1/2 \end{aligned} I =(1)x→0limx∫0xf(0)dt∫0xtf(0)dt=x→0limf(0)x2f(0)x2/2=1/2
（1）部分：
由于
lim⁡x→0f(x)f(0)=1\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{f(0)}=1 x→0limf(0)f(x)=1
直接替换 f(t)∼f(0)f(t)\sim f(0)f(t)∼f(0) 即可。

参考

【变限积分中的等价无穷小替换】https://www.bilibili.com/video/av201524339/
【关于变上限积分的等价无穷小】https://www.docin.com/p-1127320669.html
【等价无穷大，变上限积分的等价无穷小】https://zhuanlan.zhihu.com/p/364305037?ivk_sa=1024320u

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