高数七重积分的总结_高等数学积分学总结.pdf

高等数学积分学总结

《高等数学》中的积分学总结

高等数学中涉及的积分类型主要有：定积分(含广义积分)、二重积分、三重

积分、曲线积分(对弧长、对坐标)、曲面积分(对面积、对坐标)。

一、符号形式

I 1 a f (x )dx ；I 2 f (x, y )d ；I 3 f (x, y ,z )dV ；

D 

I 4 f (x, y ,z )ds ；I 5 F dr Pdx Qdy Rdz ；

C C C

I 6 f (x, y ,z )dS ；I 7 F ndS F dS Pdydz Qdzdx Rdxdy

   

二、共同点

2.1 定义方法：划分—>微元—>求和—>取极限

2.2 性质：线性性质、可加性、估值

三、不同点

几何物理积分特殊被积

类型微元应用点

背景背景区域函数 “1”

定积分面积细杆的质量区间 b a dx

二重积分体积平面薄板的质量平面区域 S (D) d

质量

三重积分 -- 几何体的质量空间区域 V() dV

矩

第I 型质心

-- 弯曲杆件的质量无向曲线 L(C ) ds

曲线积分转动惯量

第I 型曲面

-- 弯曲薄板的质量 S () dS

曲面积分 (未定向)

第II 型变力做功功、流量、

-- 有向曲线 -- ds

曲线积分 (或流量或通量) 环量、通量

第II 型

-- 流量(通量) 定向曲面 -- dS 流量、通量

曲面积分

四、重要联系及公式

4.1 Newton-Leibniz 公式：a f (x )dx F (b ) F (a )

4.2 Green 公式：

环量—旋度形式：

 Pdx Qdy rotF kd F kd

C D D

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