群论中的拉格朗日定理（子群的阶必然能整除群阶）

前言：仅个人小记。本文记录的证明逻辑上不具有流畅性，主要是在一开始不流畅，拉格朗日神乎其技地引入了一个等价关系，进而实现了整个定理的证明，目前我没能给出拉格朗日是如何想到引入该等价关系。

最后给出推论： 元素的阶必然能够整除群的阶。（元素的阶就是相应循环子群的阶。）

前要知识

等价关系 R 中，元素 a 的等价类，即该等价关系中所有第一个元素是 a 的序偶相应的第二个元素 b 形成的集合。

定理内容

设 <H,∗><H,*><H,∗> 是群 <G,∗><G,* ><G,∗>的一个子群，则子群 H 的阶 m 必然能够整除群 G 的阶 n, 即m∣nm|nm∣n。

定理证明

前要证明（1）

证明内容： 引入一个二元关系并证明其为一个等价关系。
引入二元关系

R={<a,b>∣a,b∈G且a−1∗b∈H}R=\{<a,b>|a,b\in G且a^{-1}*b\in H\}R={<a,b>∣a,b∈G且a−1∗b∈H}注意: a,b 是属于群 G 而不是属于子群 H 的两个元素。

由于子群 H 必然存在幺元，所以a−1∗a=e∈Ha^{-1}*a=e\in Ha−1∗a=e∈H，所以必然存在序偶<a,a>，即二元关系 R 具有自反性。
由于子群 H 具有封闭性和结合律，所以如果存在 <a,b>,<b,c>，即存在 a−1∗b,b−1∗c∈Ha^{-1}*b,b^{-1}*c\in Ha−1∗b,b−1∗c∈H，进而，由于封闭性以及结合律，故而必然(a−1∗b)∗(b−1)∗c=a−1∗(b∗b−1)∗c=a−1∗c∈H(a^{-1}*b)*(b^{-1})*c=a^{-1}*(b*b^{-1})*c=a^{-1}*c\in H(a−1∗b)∗(b−1)∗c=a−1∗(b∗b−1)∗c=a−1∗c∈H故而必然存在序偶 <a,c>，即二元关系具有传递性。
由于子群 H 中元素都可逆，所以如果存在 <a,b>，即存在 a−1∗b∈Ha^{-1}*b\in Ha−1∗b∈H，则必然其逆元素也属于子群 H，即(a−1∗b)−1∈H{(a^{-1}*b)}^{-1}\in H(a−1∗b)−1∈H，即b−1∗a∈Hb^{-1}*a\in Hb−1∗a∈H即存在序偶 <b,a>, 即二元关系具有对称性。

综上3条，得出二元关系必然是一个等价关系。证毕！

前要证明（2）

证明内容： 等价关系 R 中元素 a 的等价类就是 aH。
由前要知识1知道，a 的等价类就是所有满足 <a,b>∈R<a,b>\in R<a,b>∈R 的 b 形成的集合。对于等价关系 R ，满足 <a,b>∈R<a,b>\in R<a,b>∈R 的 b 就是满足a−1∗b∈Ha^{-1}*b\in Ha−1∗b∈H 的 b，就是所有满足 b∈aHb\in aHb∈aH的 b 形成的集合，即集合 aHaHaH。
注意到：

a 具有任意性。
等价类的规模和子群 H 直接挂钩，即同一等价类里元素个数就等于子群 H 的阶。

正式证明

由等价关系 R 对集合 G 的划分形成等价类，记共有 k 个等价类。由前要证明(2)可知，每个不同等价类的规模相同，且每个等价类里的元素个数都等于子群 H 的阶，即∀a∈G,∣[a]R∣=∣H∣\forall a\in G,|[a]_R|=|H|∀a∈G,∣[a]R∣=∣H∣又因为是划分，所以所有等价类的元素的集合就是集合 G，所以等价类1里元素个数+等价类2里的元素个数+...+等价类k里的元素个数=G中元素个数等价类1里元素个数+等价类2里的元素个数+...+等价类k里的元素个数=G中元素个数等价类1里元素个数+等价类2里的元素个数+...+等价类k里的元素个数=G中元素个数进而km=nkm=nkm=n即 n 能够被 m 整除，而 m 又是子群 H 的阶，而子群 H又具有任意性，故而得子群的阶必然能够整除群的阶。

推论

元素的阶必然能够整除群的阶。

证明方法：元素自乘，形成循环子群，元素的阶就是相应循环子群的阶，而循环子群就是子群，故而满足上述 “子群的阶必然能够整除群的阶”，故而循环子群的阶必然能够整除群的阶，即元素的阶必然能够整除群的阶。证毕！

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