考研数学之汤家凤老师来校讲座摘记 (拉格朗日定理等干货 )

2021年3月12日

刚开始复习考研数学没多久
得知大名鼎鼎的汤神要来我们学校做讲座
在某帅气的zqq推荐下我参与了这次讲座
听完讲座之后感觉受益匪浅
于是打算写这篇文章来记录一下

摘要

先放几张讲座现场的照片

正文

主要还是记录一下这次讲座的一些收货和我觉得学习到的干货

学习规划

学习的规划方面主要有以下三点

在6.30日前完成基础阶段的复习
基础课的学习要系统
- 可以看汤老师在B站的视频, (虽然我买了其他老师的课,但汤老师的讲课水平是不容置疑的)
- 我觉得一旦选定了基础课的老师就不要换了,每个老师都有自己讲课的风格和安排,随意更换可能会产生一些问题
练习
- 这一点非常重要, 数学的学习需要大量的练习,每章学习完之后都要进行大量的题目练习,不然很容易忘记

方法体系有如下两点

理论体系
方法体系

干货记录

在讲座中, 汤老师带来的大多数都是干货, 我就选取其中重要的部分做一个简单的记录

定积分

现在网上大多数讲解定积分都是从下面这张图来展开的

但是当我们看到这张图的时候,我们要想到的更多

A=?A = ?A=? (阴影部分的面积)
Vx=?V_x = ?Vx=? (曲线绕 x 轴旋转的面积)
Vy=?V_y = ?Vy=? (曲线绕 y 轴旋转的面积)
$S = ? $ (绕X轴旋转体的侧面积)

拉格朗日定理

接下来的一大段时间,汤神都在介绍拉格朗日定理
对拉格朗日的一套体系让我受益匪浅
之前只是停留在会做题的阶段而没有形成一套体系
下面就记录一下汤神对拉格朗日的总结

定理介绍

通常若题目中出现如下几种情况时要使用拉格朗日定理

f(b)−f(a)f(b) - f(a)f(b)−f(a) 90%90\%90%的几率要用
f(a)≠f(b)f(a) ≠ f(b)f(a)=f(b) 可能用可能不用
f(a),f(b),f(c)f(a) ,f(b),f(c)f(a),f(b),f(c) 使用两次定理
从f(x)f(x)f(x) 指向 f′(x)f'(x)f′(x)

接下来便是一些案例来帮助我们理解, 下面是我记录的部分题目

案例2

已知 f′′>0,求f′(0),f′(1).f(1)−f(0)三者之间的大小f''>0, 求 f'(0), f'(1). f(1)-f(0) 三者之间的大小f′′>0,求f′(0),f′(1).f(1)−f(0)三者之间的大小

解析
本题出现了f(1)−f(0)f(1)-f(0)f(1)−f(0) 也就是 f(b)−f(a)f(b) - f(a)f(b)−f(a)的形式
很自然的想到用拉格朗日定理
f(1)−f(0)=f′(ξ)(1−0)ξ∈(0,1)f(1)-f(0)=f'(\xi)(1-0) \ \ \ \ \ \ \xi\in(0,1)f(1)−f(0)=f′(ξ)(1−0) ξ∈(0,1)
∵f′′>0∵ f''>0∵f′′>0$
∴f′在(0,1)上单调递增∴f'在(0,1)上单调递增∴f′在(0,1)上单调递增
∴f′(0)<f′(ξ)<f′(1)∴f'(0)<f'(\xi)<f'(1)∴f′(0)<f′(ξ)<f′(1)

案例2
lim⁡x→+∞x2(sin1x−sin1x+1)\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^2(sin\frac{1}{x}- sin\frac{1}{x+1})x→+∞limx2(sinx1−sinx+11)

解析
f(t)=sinxf(t) = sinxf(t)=sinx
然后用拉格朗日

案例3
已知 f′′>0f''>0f′′>0 求证 2f(1)<f(0)+f(2)2f(1) < f(0) + f(2)2f(1)<f(0)+f(2)

解析
拆成如下
f(1)−f(0)<f(2)−f(1)f(1) - f(0) < f(2) - f(1)f(1)−f(0)<f(2)−f(1)
两次拉格朗日

f(n)(ξ)=0f^{(n)}(\xi)=0f(n)(ξ)=0形式的解法

f(n)(ξ)=0f^{(n)}(\xi)=0f(n)(ξ)=0

n=1时:{找f(a)=f(b)用罗尔定理极值点☆(一般书上不讲这个方法)n = 1时: \begin{cases} 找 f(a)=f(b) 用罗尔定理 \\ 极值点 \ \ \ \ ☆(一般书上不讲这个方法) \end{cases}n=1时:{找f(a)=f(b)用罗尔定理极值点 ☆(一般书上不讲这个方法)
n=2时:{找f(a)=f(b)=f(c)找f′(a)=f′(b)n = 2时: \begin{cases} 找 f(a)=f(b)=f(c)\\ 找 f'(a) = f'(b) \end{cases}n=2时:{找f(a)=f(b)=f(c)找f′(a)=f′(b)

案例
f(0)=1,f(12)=2,f(1)=−1,证∃ξ∈(0,1)f′(ξ)=0f(0)=1, f(\frac{1}{2})=2, f(1)=-1, 证\exists\xi\in(0,1) \ \ \ \ f'(\xi)=0f(0)=1,f(21)=2,f(1)=−1,证∃ξ∈(0,1) f′(ξ)=0

解析
令 ϕ(x)=f(x)−1\phi(x) = f(x)-1ϕ(x)=f(x)−1
然后通过零点定理找出 ϕ(c)=0=ϕ(0)\phi(c) = 0 = \phi(0)ϕ(c)=0=ϕ(0)

结束

先记录这么多吧
附上汤老师的签名, 祝大家考研数学路上顺利