克鲁斯卡尔算法

问题描述

修路问题：七个村庄（A，B，C，D，E，F，G）要修路，七个村庄之间路线很多，要怎样才可以在保证联通所有村庄的同时修最短的路

思路分析

我们可以把所有的边存入数组，然后按照从小到大的顺序取出2构建最小树，但是要保证取出的边不会构成回路。如图我们有十条边，先都存入数组，然后取出依次取出，先取出最短的F->E，不构成回路，继续取C->D，依然图中不构成回路，继续取D->E，现在可以看见F->C这条线是联通的了，然后继续取最短，这时可以发现C->F是最短的，但是很明显的看到如果加入了C->F这条路就构成了回路。那我们是不是可以理解为按照从小到大的顺序去取出，只要不构成回路问题就解决了。

回路问题思路（重点理解）

如果我们有个数组动态记录每次取出后这些点的终点，那我们是不是就可以解决问题。最开始的时候每个点的终点就是自己，当第一次取出（F->E）这条边后，F的终点还是自己，但是E的终点就是F了，然后继续取，取出C->D，C的终点就是D，D的终点还是D，继续取D->E，当这条边取出来的时候D的终点就是跟E一样了（D的终点引用E的，E是F），因为已经串起来成为一条线了，那么此时（C，D，E，F）的终点都是F，继续取C->F，此时这条边加入的时候C指向F，F指向F。这时就构成回路了。简而言之，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

问题解决思路

这个时候我们要做的就是两件事。首先把所有的边存起来，然后排序，保证从小到大的顺序。第二步就是取出来每条边的同时判断是否构成回路。当边全部取完时，问题解决。

代码实现

public class Kruskal {private int edgeNum;//边的个数
private char[] vertexs;//顶点数组
private int[][] matrix; // 邻接矩阵
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;public static void main(String[] args) {char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E'
, 'F', 'G'};int[][] matrix = {/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*//*A*/ {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},/*B*/ {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},/*C*/ {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},/*D*/ {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},/*E*/ {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},/*F*/ {16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},/*G*/ {14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};
Kruskal kruskal = new Kruskal(vertexs, matrix);
kruskal.print();kruskal.kruskal();}/**
* 定义构造方法初始化数据
* @param vertexs 顶点数组
* @param matrix  领接矩阵
*/
public Kruskal(char[] vertexs, int[][] matrix) {int vlen = vertexs.length;this.vertexs = new char[vlen];this.matrix = new int[vlen][vlen];// 初始化顶点for (int i = 0; i < vlen; i++) {this.vertexs[i] = vertexs[i];}// 初始化二维数组for (int i = 0; i < vlen; i++) {for (int j = 0; j < vlen; j++) {this.matrix[i][j] = matrix[i][j];}}// 计算有多少条边for (int i = 0; i < vlen; i++) {for (int j = i + 1; j < vlen; j++) {if (this.matrix[i][j] != INF) {edgeNum++;}}}
}public void kruskal(){// 结果数组的索引int index = 0;// 用于保存已生成的最小数中的每个顶点在最小生成树中的终点int[] ends = new int[edgeNum];// 创建结果数组 保存最后的最小生成树EData[] rets = new EData[edgeNum];// 获取图中所有的边集合EData[] edges = getEdges();sortEdges(edges);// 遍历数组将边添加到最小生成树是 判断是否形成回路for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {int p1 = getPosition(edges[i].start);int p2 = getPosition(edges[i].end);// 获取p1顶点在这个最小生成树中的终点int m = getEnd(ends,p1);int n = getEnd(ends,p2);// 判断是否构成回路if (m != n){ends[m] = n; // 设置m在已有最小生成树中的终点rets[index++] = edges[i];}}System.out.println("最小生成树");for (int i = 0; i < index; i++) {System.out.println(rets[i]);}
}public void print() {System.out.println("领接矩阵为");for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {System.out.printf("%13d", matrix[i][j]);}System.out.println();}
}// 我们需要对边的权值进行排序
private void sortEdges(EData[] edges) {for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {EData temp = edges[j];edges[j] = edges[j + 1];edges[j + 1] = temp;}}}
}// 返回顶点对应的下标
private int getPosition(char ch) {for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {if (vertexs[i] == ch) {return i;}}return -1;
}// 获取图中的边 放入数组中
private EData[] getEdges() {int index = 0;EData[] edgs = new EData[edgeNum];for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {if (matrix[i][j] != INF) {edgs[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);}}}return edgs;
}/***     获取下标为i的顶点的终点 用于后面判断两个顶点的* 终点是否相同* @param ends  数组就是记录各个顶点对应的终点是哪个*  ends数组是在遍历的过程中 逐步形成的* @param i  传入顶点的下标* @return 返回的是下标为i的这个顶点对应终点的下标*/private int getEnd(int[] ends,int i){while (ends[i] != 0){i = ends[i];}return i;}}/*** 创建一个类EData,它的对象实例就表示一条边*/
class EData {char start;char end;int weight;public EData(char start, char end, int weight) {this.start = start;this.end = end;this.weight = weight;}@Overridepublic String toString() {return "EData{<" +start +", " + end +">=" + weight +'}';}
}

运行结果

总结

相比起普利姆算法点击传送，克鲁斯卡尔相对适合求边稀疏的网的最小生成树。在这里，克鲁斯卡尔算法更多的是去考虑是否构成回路这个问题，如果这里想通了，应该就很容易想通了。

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