最小生成树

给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树
N个顶点，一定有N-1条边
包含全部顶点
N-1条边都在图中
求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

普利姆算法

算法介绍

普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图

普利姆的算法如下:

设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1
若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1
重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边

其实，按照我个人的理解，可以简单概括为：对所有已经加入（已经访问过）的顶点，在它们的所有未访问过的边中找到权值weight最小的边，加入结果集，并标记边的另一个顶点为已访问过，一直循环这歌过程，直到加入了n-1条边。

代码

首先要有一个创建和存储图信息的类

class Graph:"""图的构造类"""def __init__(self, vertex_num):""":param vertex_num: 顶点的数量"""self.vertex_num = vertex_numself.vertexs = Noneself.weights = Nonedef create(self, vertexs, weights):""":param vertexs: 所有顶点集合:param weights: 边的邻接矩阵，二维数组:return:"""self.vertexs = vertexsself.weights = weights

然后，开始我们的普利姆算法

class MinimumSpanningTree:"""通过构建最小生成树，解决修路：要将所有顶点连通，并且使用的费用最低即权值之和最小"""def import_graph(self, graph: Graph):self.graph = graphdef prim(self, start):"""利用普利姆算法构建最小生成树:param start::return:"""# 用于判断每个顶点是否已经访问的listvisited = [False] * self.graph.vertex_numvisited[start] = Truefor k in range(1, self.graph.vertex_num):min_weight = 10000i1 = -1i2 = -1# 对所有已经加入（已经访问过）的顶点，在它们的所有未访问过的边中找到权值weight最小的边，加入结果集，并标记为已访问过for i in range(self.graph.vertex_num):if not visited[i]:continuefor j in range(self.graph.vertex_num):if (self.graph.weights[i][j] < min_weight) & (not visited[j]):min_weight = self.graph.weights[i][j]i1 = ii2 = jvisited[i2] = Trueprint('%s -> %s : %d' % (self.graph.vertexs[i1], self.graph.vertexs[i2], min_weight))

测试图例

if __name__ == '__main__':# 普利姆算法测试graph = Graph(7)vertexts = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G']weights = [[10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2],[5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3],[7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000],[10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000],[10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4],[10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6],[2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000]]graph.create(vertexts, weights)tree = MinimumSpanningTree()tree.import_graph(graph)tree.prim(0)

克鲁斯卡尔算法

算法介绍

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。

这里其实最关键的就是两点：

按照权值从小到大的顺序选择n-1条边
选择的边不构成回路

步骤解析

第1步：将边<E,F>加入R中。
边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步：将边<C,D>加入R中。
上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步：将边<D,E>加入R中。
上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步：将边<B,F>加入R中。
上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步：将边<E,G>加入R中。
上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步：将边<A,B>加入R中。
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：

回路

我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

(01) C的终点是F。
(02) D的终点是F。
(03) E的终点是F。
(04) F的终点是F。

这里需要注意的是，只有当边加入连通了了之后，才能有所谓的终点

例如仅仅只有<E,F> <C,D> <D,E>加入后，像A、B这样的顶点是还没有终点，也可以认为终点是它们自己。

代码实现

def kruskal(self):"""利用克鲁斯卡尔算法构建最小生成树:return:"""ends = [0] * self.graph.vertex_num  # 用于存储每个顶点的终点edges = []  # 用于存储排序后的边# 开始进行排序# 遍历邻接矩阵，将边提取出来的同时插入edges，并保证有序visited = [False] * self.graph.vertex_numfor i in range(self.graph.vertex_num):for j in range(self.graph.vertex_num):if visited[j]:continueif self.graph.weights[i][j] != 10000:index = len(edges)for n in range(len(edges)):if self.graph.weights[i][j] < weights[edges[n][0]][edges[n][1]]:index = nbreakedges.insert(index, (i, j))visited[i] = True# 开始克鲁斯卡尔算法# 选取权值最小的n-1条不构成回路的边，即为最小生成树selects = []for edge in edges:if len(selects) > self.graph.vertex_num - 1:break# 首先判断是否构成回路end1 = self.get_end(edge[0], ends)end2 = self.get_end(edge[1], ends)if end1 == end2:continueelif end1 > end2:ends[end2] = end1  # 更新终点数组selects.append((self.graph.vertexs[edge[0]], self.graph.vertexs[edge[1]]))else:ends[end1] = end2selects.append((self.graph.vertexs[edge[0]], self.graph.vertexs[edge[1]]))print(selects)def get_end(self, v, ends):"""计算输入顶点的终点:param v::param ends: 存储每个顶点的终点:return:"""while ends[v] != 0:v = ends[v]return v

测试代码

graph = Graph(7)
vertexts = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G']
weights = [[10000,  12, 10000, 10000, 10000,  16,  14],
[12,   10000,  110000, 10000, 10000,   7, 10000],
[10000,  110000,   10000,   3,   5,   6, 10000],
[10000, 10000,   3,   10000,   4, 10000, 10000],
[10000, 10000,   5,   4,   10000,   2,   8],
[16,   7,   6, 10000,   2,   10000,   9],
[14, 10000, 10000, 10000,   8,   9,   10000]]
graph.create(vertexts, weights)
tree = MinimumSpanningTree()
tree.import_graph(graph)
tree.kruskal()

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