信息学奥赛一本通 1985：【19CSPJ普及组】加工零件 | 洛谷 P5663 [CSP-J2019] 加工零件
2024-06-01 11:27:31
【题目链接】
ybt 1985：【19CSPJ普及组】加工零件
洛谷 P5663 [CSP-J2019] 加工零件
【题目考点】
- 图论
- SPFA算法
【解题思路】
1. 问题分析
每个工人是一个顶点，传送带是边，构成一个图。轩轩是1号工人，即为1号顶点。被派工单的工人记为顶点a。
引理1：顶点v接到生产L阶段零件的任务。在顶点v的度不为0的前提下，如果L是偶数，那么顶点v需要提供原材料。
- 证明：记顶点v的某一邻接点为u，v要生产L阶段的零件，那么u就要生产第L-1阶段的零件。u生产L-1阶段的零件又要求v生产L-2阶段的零件。依此类推，如果L是个偶数，u最终需要生产第1阶段的零件，v最终需要生产第0阶段的零件，即提供原材料。
引理2：顶点v接到生产L阶段的零件的任务，假设顶点v到1号顶点存在一条长度为n的路径，如果L >= n，且L - n是偶数，那么1号顶点需要为该任务提供原材料。
- 证明：在这一路径上，与v相邻的顶点v1需要生产L-1阶段的零件，路径上与v1相邻的顶点需要生产L-2阶段的零件，一直传导到1号顶点，1号顶点需要生产L-n阶段的零件。根据引理1，如果L-n是偶数，那么1号顶点需要为该任务提供原材料。
定义1：顶点u到顶点v的奇数最短路径
顶点u到顶点v的长度为奇数的路径中，最短的路径。
定义2：顶点u到顶点v的偶数最短路径
顶点u到顶点v的长度为偶数的路径中，最短的路径。
2. 解题算法：
1. 求图上每一顶点到1号顶点的奇数最短路径的长度lodd与偶数最短路径的长度leven。
实现算法：SPFA算法
- 每个顶点v关联两个值：奇数最短路径长度v.lodd，偶数最短路径长度v.leven，初始值为无穷大。
- 1号顶点入队，1号顶点的偶数最短路径长度leven设为0。
- v相邻的点u的奇数最短路径长度，应该是min(v的偶数最短路径长度加1，u的奇数最短路径长度)。
v相邻的点u的偶数最短路径长度，应该是min(v的奇数最短路径长度加1，u的偶数最短路径长度)。
某顶点v出队后，遍历其所有相邻的顶点，设某相邻点为u，则如果u.lodd > v.leven + 1 或 u.leven > v.lodd + 1，那么改变u的对应的最短路径长度，并将u入队。如果不满足这两个条件，则不入队。 - 循环运行直到队空。此时与1号顶点连通的顶点的奇数最短路径和偶数最短路径就都设置完成了。
2. 查询结果
输入数据，v号顶点需要制造L阶段零件。
- 如果L是奇数，判断L >= v.lodd，如果为真，那么说明1号顶点需要生产L - v.lodd阶段的零件，L - v.lodd是偶数，因此1号顶点需要提供原材料。如果为假，则不需要提供原材料。
- 如果L是偶数，判断L >= v.leven，如果为真，那么说明1号顶点需要生产L - v.leven阶段的零件，L - v.leven是偶数，因此1号顶点需要提供原材料。如果为假，则不需要提供原材料。
【题解代码】
解法1：使用邻接表 （vector边表）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100005
#define MAXINT 0x3f3f3f3f //表示无穷大，大于L的最大值10^9
//邻接表
int lodd[N], leven[N];
vector<int> edge[N];//边表
bool vis[N];
//求每一点到1号顶点的奇数最短路径长度和偶数最短路径长度
void initPathLength()
{memset(lodd, 0x3f, sizeof(lodd));memset(leven, 0x3f, sizeof(leven));int u, v;leven[1] = 0;//自己到自己的最短偶数路径长度为0queue<int> que;//队列保存顶点编号que.push(1);vis[1] = true;while(que.empty() == false){u = que.front();//出队的顶点u que.pop();vis[u] = false;for(int i = 0; i < edge[u].size(); ++i)//遍历u的邻接顶点 {v = edge[u][i];//v是u的邻接顶点if(lodd[v] > leven[u] + 1 || leven[v] > lodd[u] + 1){if(lodd[v] > leven[u] + 1)lodd[v] = leven[u] + 1;if(leven[v] > lodd[u] + 1)leven[v] = lodd[u] + 1;if(vis[v] == false){vis[v] = true;que.push(v);}}}}
}int main()
{int n, m, q, u, v, a, l;scanf("%d %d %d", &n, &m, &q);for(int i = 0; i < m; ++i){scanf("%d %d", &u, &v);//无向图添加边 edge[u].push_back(v);edge[v].push_back(u);}initPathLength();for(int i = 0; i < q; ++i){scanf("%d %d", &a, &l);if(l % 2 == 1 && l >= lodd[a] //如果l是奇数且大于等于a的奇数最短路径 || l % 2 == 0 && l >= leven[a]) //或如果l是偶数且大于等于a的偶数最短路径 printf("Yes\n");elseprintf("No\n");}return 0;
}
解法2：使用邻接表 （静态边链表）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100005
#define MAXINT 1000000005 //表示无穷大，大于L的最大值10^9
//邻接表
typedef struct Ver//顶点
{int next;//下一个边结点的地址int lodd, leven;//奇数最短路径长度，偶数最短路径长度Ver(){next = 0;lodd = leven = MAXINT;//初始值为无穷大}
}Ver;
typedef struct Edg//边
{int verNum;//顶点编号int next;//下一个边结点的地址
}Edg;
Ver ver[N];//顶点数组
Edg edg[2*N];//边结点的结点池。边最多有10^5个，构造邻接表，每个边生成两个边结点，所以数组要开2N
int ep = 1;//edg数组待分配地址
//添加边，在边链表上用头插法
void addEdge(int u, int v)
{int lh, edgP;//lh:边链表的头 edgP:新的边结点lh = ver[u].next;//在结点u后面的边链表中添加边结点vedgP = ep++;//分配新的边结点edg[edgP].verNum = v;ver[u].next = edgP;edg[edgP].next = lh;lh = ver[v].next;//在结点v后面的边链表中添加边结点uedgP = ep++;//分配新的边结点edg[edgP].verNum = u;ver[v].next = edgP;edg[edgP].next = lh;
}
//求每一点到1号顶点的奇数最短路径长度和偶数最短路径长度
void initPathLength()
{int u, v;ver[1].leven = 0;//自己到自己的最短偶数路径长度为0queue<int> que;//队列保存顶点编号que.push(1);while(que.empty() == false){v = que.front();//出队的顶点v的地址que.pop();for(int p = ver[v].next; p != 0; p = edg[p].next)//遍历边链表，即遍历v周围的顶点u{u = edg[p].verNum;//u是v的邻接点的地址if(ver[u].lodd > ver[v].leven + 1 || ver[u].leven > ver[v].lodd + 1){if(ver[u].lodd > ver[v].leven + 1)ver[u].lodd = ver[v].leven + 1;if(ver[u].leven > ver[v].lodd + 1)ver[u].leven = ver[v].lodd + 1;que.push(u);}}}
}int main()
{int n, m, q, u, v, a, l;scanf("%d %d %d", &n, &m, &q);for(int i = 0; i < m; ++i){scanf("%d %d", &u, &v);addEdge(u, v);}initPathLength();for(int i = 0; i < q; ++i){scanf("%d %d", &a, &l);if(l % 2 == 0)//如果l是偶数{if(l >= ver[a].leven)printf("Yes\n");elseprintf("No\n");}else//如果l是奇数{if(l >= ver[a].lodd)printf("Yes\n");elseprintf("No\n");}}return 0;
}
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