信息学奥赛一本通 ybt 1933：【05NOIP普及组】循环 | 洛谷 P1050 [NOIP2005 普及组] 循环

【题目链接】

ybt 1933：【05NOIP普及组】循环
洛谷 P1050 [NOIP2005 普及组] 循环

【题目考点】

1.高精度

2.数学

【解题思路】

要求最后k位的循环长度，可以从低位向高位看。
假设n的最后k位为dkdk−1...d2d1d_kd_{k-1}...d_2d_1dkdk−1...d2d1

先看最低位d1d_1d1，假设d1l1d_1^{l_1}d1l1的最后一位位是d1d_1d1，它的循环长度为l1l_1l1
然后看倒数两位d2d1d_2d_1d2d1，以(d2d1)l1(d_2d_1)^{l_1}(d2d1)l1为单位进行累乘，可以保证结果的个位是d1d_1d1，假设累乘l2l_2l2次，(d2d1)l1l2(d_2d_1)^{l_1l_2}(d2d1)l1l2的倒数第2位是d2d_2d2，即末两位是d2d1d_2d_1d2d1，循环长度为l1l2l_1l_2l1l2
然后看倒数3位d3d2d1d_3d_2d_1d3d2d1，以(d3d2d1)l1l2(d_3d_2d_1)^{l_1l_2}(d3d2d1)l1l2为单位进行累乘，可以保证末两位是d2d1d_2d_1d2d1，假设累乘l3l_3l3次后(d3d2d1)l1l2l3(d_3d_2d_1)^{l_1l_2l_3}(d3d2d1)l1l2l3的倒数第3位是d3d_3d3，即末3位是d3d2d1d_3d_2d_1d3d2d1，那么循环长度为l1l2l3l_1l_2l_3l1l2l3
以此类推，直到求出倒数k位的循环长度
如果累乘10次后，结果的末几位与原数字仍然不同，那么就不会发生循环，输出-1。

说明：
假设现在在看倒数m位，dm...d2d1d_m...d_2d_1dm...d2d1，以(dm...d2d1)l1l2...lm−1(d_m...d_2d_1)^{l_1l_2...l_{m-1}}(dm...d2d1)l1l2...lm−1为单位进行累乘，可以保证最后m-1位为dm−1...d2d1d_{m-1}...d_2d_1dm−1...d2d1。变化的只有结果的倒数第m位，该位置可能的数字只有0~9这10种。

如果每次乘(dm...d2d1)l1l2...lm−1(d_m...d_2d_1)^{l_1l_2...l_{m-1}}(dm...d2d1)l1l2...lm−1得到的倒数第m位都不同，那么10次累乘中，一定至少有一次其倒数第m位的值与dmd_mdm相同。

如果10次累乘中，倒数第m位都没能等于dmd_mdm，说明这10次中，倒数第m位出现了重复的数字，倒数第m位数字的变化存在循环，而这个循环中没有dmd_mdm这个数字。所以dm...d2d1d_m...d_2d_1dm...d2d1不会循环出现，应该输出-1。

解法1：

严格按照上述方法执行，每次循环只看末m位，前先求累乘单位(dm...d2d1)l1l2...lm−1(d_m...d_2d_1)^{l_1l_2...l_{m-1}}(dm...d2d1)l1l2...lm−1，需要用到快速幂。

解法2：

整体思路与上述方法大体相同，不过直接取n的末k位作为累乘单位，不再分别取末1位，末2位。。。

先看最低位d1d_1d1，假设(dkdk−1...d2d1)l1(d_kd_{k-1}...d_2d_1)^{l_1}(dkdk−1...d2d1)l1的最后一位位是d1d_1d1，它的循环长度为l1l_1l1
然后看倒数两位d2d1d_2d_1d2d1，以(dkdk−1...d2d1)l1(d_kd_{k-1}...d_2d_1)^{l_1}(dkdk−1...d2d1)l1为单位进行累乘，可以保证结果的个位是d1d_1d1，假设累乘l2l_2l2次，(dkdk−1...d2d1)l1l2(d_kd_{k-1}...d_2d_1)^{l_1l_2}(dkdk−1...d2d1)l1l2的倒数第2位是d2d_2d2，即末两位是d2d1d_2d_1d2d1，循环长度为l1l2l_1l_2l1l2
然后看倒数3位d3d2d1d_3d_2d_1d3d2d1，以(dkdk−1...d2d1)l1l2(d_kd_{k-1}...d_2d_1)^{l_1l_2}(dkdk−1...d2d1)l1l2为单位进行累乘，可以保证末两位是d2d1d_2d_1d2d1，假设累乘l3l_3l3次后(dkdk−1...d2d1)l1l2l3(d_kd_{k-1}...d_2d_1)^{l_1l_2l_3}(dkdk−1...d2d1)l1l2l3的倒数第3位是d3d_3d3，即末3位是d3d2d1d_3d_2d_1d3d2d1，那么循环长度为l1l2l3l_1l_2l_3l1l2l3
如此来做，上一次循环的累乘的结果可以直接作为下一次循环的累乘单位，可以省去解法1中做快速幂的过程。

【题解代码】

代码中几个Multiply函数名字相同，参数个数或类型不同，构成函数重载，几个函数都可以被正确使用。

解法1：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 305
void numcpy(int a[], int b[])//b拷贝给a
{for(int i = 0; i <= b[0]; ++i)//把r赋值给a a[i] = b[i];
}
void Multiply(int a[], int b[], int m)//a *= b 高精乘高精 结果只取末m位
{int r[N] = {}, ri;for(int i = 1; i <= a[0]; ++i){int c = 0;for(int j = 1; j <= b[0]; ++j){r[i+j-1] += a[i]*b[j] + c;c = r[i+j-1] / 10;r[i+j-1] %= 10; }r[i+b[0]] += c;}ri = a[0] + b[0];while(r[ri] == 0 && ri > 1)ri--;r[0] = ri;if(r[0] > m)r[0] = m; numcpy(a, r);
}
void Multiply(int a[], int b)//a *= b 高精乘低精
{int c = 0, i;for(i = 1; i <= a[0]; ++i){a[i] = a[i]*b + c;c = a[i] / 10;a[i] %= 10; }while(c > 0){a[i] = c % 10;c /= 10;i++;}while(a[i] == 0 && i > 1)i--;a[0] = i;
}
void Divide(int a[], int b) //高精除低精 a/=b
{int x = 0, ai;//余数 for(int i = a[0]; i >= 1; i--){x = x * 10 + a[i];a[i] = x / b;x %= b;}ai = a[0];while(a[ai] == 0 && ai > 1)ai--;a[0] = ai;
}
void fastPower(int a[], int b[], int m)//快速幂 a^b取末m位 ，结果保存给a
{int r[N] = {1, 1}, c[N];//a为基数，c为指数，r为结果 numcpy(c, b);while(!(c[0] == 1 && c[1] == 0))//c != 0{if(c[1] % 2 == 1)//用b的个位判断其是否是偶数 Multiply(r, a, m); Multiply(a, a, m);Divide(c, 2);}numcpy(a, r);
}
void tonum(int a[], char s[])//字符串转为数字数组
{int len = strlen(s);for(int i = 1; i <= len; ++i)a[i] = s[len-i] - '0';a[0] = len;
}
void cutNum(int a[], int n, int b[])//截取数字a的后n位 赋值给数字b
{for(int i = 1; i <= n; ++i)b[i] = a[i];b[0] = n;
}
int main()
{int n[N] = {}, a[N] = {}, b[N] = {}, l[N] = {1,1}, k;//a：累乘单位 l:循环长度 初值为1 char s[N];cin >> s >> k;tonum(n, s);for(int i = 1; i <= k; ++i)//i:看后i位 {cutNum(n, i, a);//构造a为n的后i位 fastPower(a, l, i);//n的后i位累乘l次，使a成为累乘单位 cutNum(n, i, b);//构造b为n的后i位 bool isFound = false; //第i位的循环长度是否找到 for(int j = 1; j <= 10; ++j){Multiply(b, a, i);if(b[i] == n[i])//如果倒数第i位又变回为原来的倒数第i位 {Multiply(l, j);//找到第i位的循环长度为j isFound = true;break;}}if(isFound == false){//如果没找到，则不存在循环长度 cout << -1;return 0;}}for(int i = l[0]; i >= 1; i--)//输出循环长度cout << l[i]; return 0;
}

解法2：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 305
int k;//结果取末k位
void numcpy(int a[], int b[])//b拷贝给a
{for(int i = 0; i <= b[0]; ++i)//把r赋值给a a[i] = b[i];
}
void Multiply(int a[], int b[], int r[])//a * b = r 高精乘高精 结果只取末k位
{for(int i = 1; i <= a[0]; ++i){int c = 0;for(int j = 1; j <= b[0]; ++j){r[i+j-1] += a[i]*b[j] + c;c = r[i+j-1] / 10;r[i+j-1] %= 10; }r[i+b[0]] += c;}int ri = a[0] + b[0];while(r[ri] == 0 && ri > 1)ri--;r[0] = ri;if(r[0] > k)r[0] = k;
}
void Multiply(int a[], int b[])//a *= b 高精乘高精 结果只取末k位
{int r[N] = {};Multiply(a, b, r);numcpy(a, r);
}
void Multiply(int a[], int b)//a *= b 高精乘低精
{int c = 0, i;for(i = 1; i <= a[0]; ++i){a[i] = a[i]*b + c;c = a[i] / 10;a[i] %= 10; }while(c > 0){a[i] = c % 10;c /= 10;i++;}while(a[i] == 0 && i > 1)i--;a[0] = i;
}
void tonum(int a[], char s[])//字符串转为数字数组
{int len = strlen(s);for(int i = 1; i <= len; ++i)a[i] = s[len-i] - '0';a[0] = len;
}
int main()
{int n[N] = {}, a[N] = {}, b[N] = {}, c[N] = {}, l[N] = {1,1};//a：累乘单位 l:循环长度 初值为1 char s[N];cin >> s >> k;tonum(n, s);numcpy(a, n);//累乘单位a初值为nfor(int i = 1; i <= k; ++i)//i:看后i位 {bool isFound = false; //第i位的循环长度是否找到 c[0] = c[1] = 1;//c = 1; 累乘乘积 for(int j = 1; j <= 10; ++j){Multiply(c, a);//高精乘高精 c *= a;memset(b, 0, sizeof(b));Multiply(c, n, b);//高精乘高精 b = a*nif(b[i] == n[i])//如果倒数第i位又变回为原来的倒数第i位 {Multiply(l, j);//高精乘低精 找到第i位的循环长度为j isFound = true;break;}}if(isFound == false){//如果没找到，则不存在循环长度 cout << -1;return 0;}numcpy(a, c);//使当前c的值为下一次的累乘单位a了}for(int i = l[0]; i >= 1; i--)//输出循环长度cout << l[i]; return 0;
}

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【解题思路】

解法1：

解法2：

【题解代码】

解法1：

解法2：

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