【概述】

最小树形图，就是给出一个带权有向图，从中指定一个特殊的结点 root，求一棵以 root 为根的有向生成树 T，且使得 T 中所有边权值最小。

简单来说，最小树形图就是有向图的最小生成树。

【朱刘算法】

1.过程

简单来说，朱刘算法分为四个过程：

1）求最短弧集合 E

2）判断集合 E 中有没有有向环，如果有转步骤 3，否则转 4

3）收缩点，把有向环收缩成一个点，并且对图重新构建，包括边权值的改变和点的处理，之后再转步骤 1

4）展开收缩点，求得最小树形图

2.实现

struct Edge{int x,y;int w;
}edge[N];
int vis[N];
int id[N];//结点所属环编号
int in[N],pre[N];//in[]为最小入边权,pre[]为其对应的起点
int zhuLiu(int root,int n,int m){//root结点、点数、边数int res=0;//最小树形图总权值while(true){for(int i=0;i<n;i++)//初始化为无穷大in[i]=INF;//寻找每个点的最小入边for(int i=0;i<m;i++){//遍历每条边int x=edge[i].x;int y=edge[i].y;if(edge[i].w<in[y] && x!=y){//更新最小入边pre[y]=x;//记录前驱in[y]=edge[i].w;//更新}}//判断是否存在最小树形图for(int i=0;i<n;i++){if(i==root)continue;if(in[i]==INF)//除根节点外的点存在孤立点return -1;}//寻找所有的环int cnt=0;//记录环数in[root]=0;memset(id,-1,sizeof(id));memset(vis,-1,sizeof(vis));for(int i=0;i<n;i++){//标记每个环res+=in[i];//记录权值int y=i;while(vis[y]!=i&&id[y]==-1&&y!=root){//寻找图中有向环//三种情况会终止：找到出现同样标记的点、结点已属其他环、遍历到根vis[y]=i;//标记y=pre[y];//向上找}if(y!=root&&id[y]==-1){//没有遍历到根或没有找到结点属于其他环,说明找到有向环for(int x=pre[y];x!=y;x=pre[x])//标记结点x为第几个环id[x]=cnt;//记录结点所属环号id[y]=cnt++;//记录结点所属环号并累加}}if(cnt==0)//无环break;for(int i=0;i<n;i++)//可能存在独立点if(id[i]==-1)//环数累加id[i]=cnt++;//建立新图,缩点重新标记for(int i=0;i<m;i++){int x=edge[i].x;int y=edge[i].y;edge[i].x=id[x];edge[i].y=id[y];if(id[x]!=id[y])//两点不在同一环内,更新边权值edge[i].w-=in[y];//x到y的距离为边权-in[y]}n=cnt;//以环数为下次操作的点数,继续上述操作,直到无环root=id[root];}return res;
}
int main(){int n,m;//n个点m条有向边scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=0;i<m;i++){//建图scanf("%d%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].w);if(edge[i].x==edge[i].y)//除去自环,即点到自身距离为INFedge[i].w=INF;}int res=zhuLiu(0,n,m);if(res==-1)printf("No\n");elseprintf("%d\n",res);return 0;
}

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