生成树最小树形图 -- 朱刘算法详解

本文借鉴的博文： zephyr_pro dalao的blog

朱刘算法引入：
(把一道最小树形图当作最小生成树来做了，wa了后以为是bug像个sb一样d了半天)
最小树形图和最小生成树都是要求总权值最小，但区别是一个有向、一个无向。有向的最小树形图是不能用prim 或krustra算法来求解的。why？因为prim 或krustra算法只能适用无向图的环，不能适用有向图的环。

举个例子，如图：

图一是无向图，用prim或krustra算法求出的最小生成树总权值为1 + 3 + 2 = 6，而图二是有向图，他不是双向联通的，它用prim或krustra算法求出的最小树形图（树形图的根为1号节点）的总权值为1 + 3 + 4 = 8（这显然不对，正确的总权值应为1 + 4 + 2 = 7），到这里就应该了解了有向图和无向图的区别了，无向图是默认双向联通的，它可以很好的适用联通块思想，prim或krustra算法就是建立在联通块思想上的。而有向图因为有向所以不适用连通块思想，朱刘算法就是专门来解决最小树形图问题的。最小树形图其实就是有向图的最小生成树。

朱刘算法：

以下为主要算法流程：（不考虑缩点后的展开）

1，确定一个根

2，找到除根外每一个点的最小入边，若这些边构成了环（此时必然不联通），则缩环成点，并将环内的每一个点的其他入边都减去环内的入边，

3，重复步骤2直到没有环出现（构成了树）。

注意：
这是一个类似递归的过程，每次缩完点之后的点与其他点构成新图，不必考虑图是什么样的，我们只需要得到权值。这也是我之前陷入的一个误区。也就是说应当把缩完的点当做一个新点（正常的新点，不要和别的点分开，我们要平等的对待每一个点！）

一旦我们连上这条新边，这将意味着我们要放弃一条环内的边，显然树要求不能有2个父亲，因此我们要删去入边，但这并不好操作，

于是注意到我们的目标仅仅是权值，因此我们将每个点在环外入边的权值减去环内入边的权值，所以当我们连上一条新边时，

这样操作的实际效果在权值上和删去环内入边是等效的，只是减的地方不同而已，反正我们是求和。

放个百度百科上的图：

这个图就很好的表现出了朱刘算法解决最小树形图的算法过程。朱刘算法的精髓就是贪心加边 、压环成点和减损补偿。

hywc 的盗个dalao 的代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>const int MAXNODE = 1010;
const int MAXEDGE = 100010;
typedef int Type;
const Type INF = 0x3f3f3f3f;struct Edge {int u, v;Type dis;Edge() {}Edge(int u, int v, Type dis): u(u), v(v), dis(dis) {}
};struct Directed_MT{int n, m;Edge edges[MAXEDGE];int vis[MAXNODE];int pre[MAXNODE];int id[MAXNODE];Type in[MAXNODE];void init(int n) {this->n = n;m = 0;}void AddEdge(int u, int v, Type dis) {edges[m++] = Edge(u, v, dis);}Type DirMt(int root) {Type ans = 0;while (1) {//初始化for (int i = 0; i < n; i++) in[i] = INF;for (int i = 0; i < m; i++) {int u = edges[i].u;int v = edges[i].v;//找寻最小入边，删除自环if (edges[i].dis < in[v] && u != v) {in[v] = edges[i].dis;pre[v] = u;}}//如果没有最小入边，表示该点不连通，则最小树形图形成失败for (int i = 0; i < n; i++) {if (i == root) continue;if (in[i] == INF) return -1;}int cnt = 0;//记录缩点memset(id, -1, sizeof(id));memset(vis, -1, sizeof(vis));in[root] = 0;//树根不能有入边for (int i = 0; i < n; i++) {ans += in[i];int v = i;//找寻自环while (vis[v] != i && id[v] == -1 && v != root) {vis[v] = i;v = pre[v];}//找到自环if (v != root && id[v] == -1) {//这里不能从i开始找，因为i有可能不在自环内for (int u = pre[v]; u != v; u = pre[u]) id[u] = cnt;id[v] = cnt++;}}//如果没有自环了，表示最小树形图形成成功了if (cnt == 0) break;//找到那些不是自环的，重新给那些点进行标记for (int i = 0; i < n; i++) if (id[i] == -1) id[i] = cnt++;for (int i = 0; i < m; i++) {int v = edges[i].v;edges[i].v = id[edges[i].v];edges[i].u = id[edges[i].u];if (edges[i].u != edges[i].v) edges[i].dis -= in[v];}//缩点完后，点的数量就边了n = cnt;root = id[root];}return ans;}
}MT;int main() {return 0;
}

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