约瑟夫环经典问题【数学公式法】

约瑟夫经典问题：N个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报M的将被杀掉，下一个人接着从1开始报。如此反复，最后剩下一个，求最后的胜利者。题目可见：找出游戏的胜利者
首先考虑常规解法：队列模拟。用一个队列模拟环，报到M的数字移除队列，其余的数字添加到队列末尾，直到队列中的数字个数只有一个为止，时间复杂度是O(nm)，每m次离开一个，一共进行n次，空间复杂度是O(n)。代码如下：

int findTheWinner(int n, int k) {k%=n; //取余if(k==0) k=n;;queue<int>q;for(int i=1;i<=n;i++) q.push(i);while(q.size()!=1){int t=k-1;while(t){q.push(q.front());q.pop();t--;}q.pop(); //每轮离开一个}return q.front();
}

可以看到，即使采用了取余操作，时间复杂度最坏的情况也是O(n^2)的，因此我们可以采用其他的方法。

假设用f(n,k)f(n,k)f(n,k)表示n个人围成一个圈，每轮报数为k的人离开圈子时的获胜者编号
当n=1n=1n=1时，由于圈子中只有一个人，因此他就是获胜者，即f(1,k)=1f(1,k)=1f(1,k)=1
当n>1n>1n>1时，在第一轮将会离开一个人，剩下n-1个人，假设离开的是k’，满足1≤k′≤n1≤k'≤n1≤k′≤n，且k−k′k-k'k−k′是n的倍数
由于1≤k′≤n1≤k'≤n1≤k′≤n，因此0≤k′−1≤n−10≤k'-1≤n-10≤k′−1≤n−1，又由于k−k′k-k'k−k′是nnn的倍数，因此(k−1)−(k′−1)(k-1)-(k'-1)(k−1)−(k′−1)是nnn的倍数，因此k′−1=(k−1)modk'-1=(k-1) modk′−1=(k−1)mod nnn，k’=(k−1)modk’=(k-1) modk’=(k−1)mod n+1n+1n+1
令x=f(n−1,k)x=f(n-1,k)x=f(n−1,k)，当第k′k'k′离开圈子后，获胜者的编号是从k′+1k'+1k′+1开始的第xxx个人的编号，因此f(n,k)=(k′modf(n,k)=(k' modf(n,k)=(k′mod n+x−1)modn +x-1) modn+x−1)mod n+1=(k+x−1)modn +1=(k+x-1)modn+1=(k+x−1)mod n+1n + 1n+1
将x=f(n−1,k)x=f(n-1,k)x=f(n−1,k)带入上述关系，可得：f(n,k)=(k+f(n−1,k)−1)modf(n,k)=(k+f(n-1,k)-1)modf(n,k)=(k+f(n−1,k)−1)mod n+1n+1n+1

递归：

int findTheWinner(int n, int k) {if (n == 1) {return 1;}return (k + findTheWinner(n - 1, k) - 1) % n + 1;
}

迭代：

int findTheWinner(int n, int k) {int winner = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {winner = (k + winner - 1) % i + 1;}return winner;
}

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