2018沈阳k（经典的约瑟夫环）

2024-04-30 21:59:46

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K Let the Flames Begin

首先，对于经典的约瑟夫环问题，我们记f(n,m)f(n,m)f(n,m)表示初始有nnn个人，第mmm个出队的人是谁（从0号开始报数）。则有递推式f(n,m)=(f(n−1,m−1)+k)%nf(n,m)=(f(n-1,m-1)+k)\ \%\ nf(n,m)=(f(n−1,m−1)+k) % n 其中kkk表示每报数kkk次一个人出队，注意编号从0开始。

递推式的证明： 考虑现在有nnn个人围成一圈，然后从0开始报数。假设第一个出队的人是xxx ，这时还有n−1n-1n−1个人，我们从刚刚出去的那个人的下一个人从0重新编号，那么以当前局面重新开始，第m−1m-1m−1个出队的人是初始所求的同一个人，但编号不同，差多少呢？即f(n,m)=(f(n−1,m−1)+k)%nf(n,m)=(f(n-1,m-1)+k)\ \%\ nf(n,m)=(f(n−1,m−1)+k) % n 。 +1 -1 细节手玩一下。

回到本题，由于m,km,km,k可能会很大，但不会同时很大，当mmm较小的时候(m<=km<=km<=k)，直接递推即可。

下面考虑m>km>km>k的情况，会发现模数大部分情况下远大于kkk，也就是说可以用乘法代替多次加法，这样可以降低时间复杂度。具体代替多少次呢？考虑f(a,b)=ansf(a,b)=ansf(a,b)=ans，假设代替xxx次，则f(a+x,b+x)=ans+x∗kf(a+x,b+x) = ans+x*kf(a+x,b+x)=ans+x∗k 进行取模的等价条件是ans+x∗k>=a+xans+x*k > =a+xans+x∗k>=a+x，即x>=a−ansk−1x>=\frac{a-ans}{k-1}x>=k−1a−ans 即代替次数确定了（整除不整除，快加到mmm了等细节注意一下即可）。

时间复杂度 O(感觉能过)O(感觉能过)O(感觉能过)

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;const int maxn=2e6+10;
ll m,n,k;ll f[maxn];int main()
{//freopen("in.txt","r",stdin);int t;cin>>t;int T=0;while(t--){T++;cin>>n>>m>>k;cout<<"Case #"<<T<<": ";if(m<=k){//直接递推ll tp=(n-m+1);f[1] = (k-1) % tp;  //编号从0开始for(int i=2;i<=m;++i) f[i] = (f[i-1]+k)%(++tp);cout<<f[m]+1<<endl;}else{if(k==1) cout<<m<<endl;else{ll tp = n-m+1;ll ans = (k-1) % tp;  //编号从0开始ll now = 1;while(1){if((tp-ans)%(k-1)==0){ll x = (tp-ans)/(k-1) -1 ;x = min(x,m-now);ans += x*k;now += x;tp  += x;if(now==m) break;ans =(ans + k) % (tp+1);now +=1;tp  +=1;if(now==m) break;assert(now <=m);}else{ll x = (tp-ans)/(k-1);x = min(x,m-now);ans += x*k;now += x;tp +=x;if(now==m) break;ans =(ans + k) % (tp+1);now +=1;tp  +=1;if(now==m) break;assert(now <=m);}}cout<<ans+1<<endl;}}}return 0;
}

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