LIS的三种求解方法

1. O(n^2)

传统的求解方法，思路为dp，状态转移方程为 dp[i]=max( dp[j]+1,1)

即到目前的i为止，对前面出现的a[j]（j<i）进行遍历，如果出现了a[i]>a[j]的情况，就使用状态转移方程。

转移方程代表了两种可能，第一种为第i个元素自己成为一个上升的队列，或者是由于前面的a[j]<a[i] 所以在

dp[j]的基础之上形成了dp[i] = dp[j]+1 但前提是a[i]>a[j]

# include <stdio.h>
int a[500];
int dp[500];
int maxx=1;
int n;
void lis(){for(int i=0;i<n;i++){dp[i]=1;for(int j=0;j<i;j++){if(a[i]>a[j]){if(dp[i]<dp[j]+1){dp[i]=dp[j]+1;}}}if(dp[i]>maxx)maxx=dp[i];}
}
void output(){for(int i=n;i>=0;i--){if(dp[i]==maxx){printf("%d--",a[i]);maxx--;}}
}
int main(){while(scanf("%d",&n)!=EOF){maxx = 1;for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&a[i]);}lis();printf("最大的长度为%d\n",maxx);output();}return 0;
}

2. 第二种方法 LIS+LCS 把原序列与从小到大排序后的序列做LCS（最长公共子序列），就能求出LIS

顺便写了一下快排还有可以再开一个数组来记录求LCS的路径来解决输出的问题

# include<stdio.h>
# include<string.h>
int n;
int a[500];
int b[500];
int dp[500][500];
int res[500][500];
void swap(int *a,int i,int j){int tmp = a[i];a[i] = a[j];a[j] = tmp;
}
void qsort(int *a,int left,int right){if(left>=right) return ;int len = left+1;for(int i=left+1;i<=right;i++){if(a[i]<a[left]){swap(a,i,len);len++;}}len--;swap(a,left,len);qsort(a,left,len-1);qsort(a,len+1,right);
}
void LCS(){memset(dp,0,sizeof(dp));memset(res,0,sizeof(res));for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(a[i-1]==b[j-1]){dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;res[i][j]=1;}else if(dp[i-1][j]>dp[i][j-1]){dp[i][j]=dp[i-1][j];res[i][j]=2;}else {dp[i][j]=dp[i][j-1];res[i][j]=3;}}}
}
int main(){while(scanf("%d",&n)!=EOF){for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&a[i]);b[i]=a[i];}qsort(a,0,n-1);printf("最长上升子序列为：");for(int i=0;i<n;i++){printf("%d  ",a[i]);}LCS();printf("\nLIS的长度为：");printf("%d\n",dp[n][n]);int i=n,j=n;int len=dp[n][n];while(len){if(res[i][j]==1){printf("%d  ",a[i-1]);i--;j--;len--;}else if(res[i][j]==2){i--;}else if(res[i][j]==3){j--;}}}return 0;
}

3.第三种方法也是最快的方法，O(nlogn) dp+二分

思路： dp[i] 所表示的意思为在如果LIS的长度为i的话 dp[i]所保存的就是长度为i的LIS的末尾数最小的值

但是这个算法有些问题就是他求LIS的速度是非常快的但是如果要输出LIS的话貌似有点困难

# include <stdio.h>
int n;
int a[500];
int dp[500];
int main(){while(scanf("%d",&n)!=EOF){for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&a[i]);}dp[1]=a[0];int len =1;for(int i=1;i<n;i++){int left=1;int right=len;while(left<=right){int mid = (left+right)/2;if(a[i]<dp[mid]) right= mid-1;else left=mid+1;}dp[left] = a[i];if(left>len) len++;}printf("%d\n",len);}return 0;
}

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