鸡蛋掉落----经典dp（动态规划）

题目：

给你 n 个鸡蛋，和一栋从 1 到 m 共有 m 层楼的建筑。

你需要测试鸡蛋的耐摔度也就是鸡蛋从第几层扔下去恰好会碎

如果鸡蛋的耐摔度是 F 那么任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。

你每次测试可以拿一个鸡蛋，把它从任意高度的楼层扔下（没摔碎的话还可以继续使用）

你的目标是测试出 F 的值是多少。要求在最坏的情况下用尽量少的测试次数来找到鸡蛋的耐摔度

解题思路：

1、首先我们要理解题目意思，根据题意，我们很容易想到一种完成任务的笨方法，那就是拿一个鸡蛋，从一楼开始慢慢的往上层测试。这个方法可以只用一个鸡蛋就能找到耐摔度。但是需要的测试次数最大是N（如果N层也摔不碎那你需要n次）

2、如何优化次数呢？可能很容易联想到二分查找，

我们假设有100层楼，给你两个鸡蛋。

用二分查找的话，我们首先在第50层楼扔，如果鸡蛋不碎的话，到第75层扔。如果50层碎了的话，那么你只剩下一个鸡蛋了，所以你不能浪了，只能使用第一个思路，从第一层开始慢慢往上找，这样才能保证你能找到临界楼层。

题目上说了，要我们考虑最坏情况下的最小次数，那么用二分查找的话，最坏情况就是如果临界层数在49层的话，我们要尝试50次。这个方法并不是最优秀的方法。

3、dp

先假设情况：2个鸡蛋，100层楼，求最坏的情况下，需要最少几次次测试才能找到鸡蛋的耐摔度

我们假设答案是x.（最坏需要x次）

然后我们首先在第x层扔鸡蛋会有两种结果

1、碎了若碎了剩下的一个鸡蛋只能从1-（x-1）遍历尝试了

2、没碎若没碎那么第二次就在x+(x-1)楼层摔。

为什么是x+x-1楼层呢？
首先我们已经假设了通过x步我们就能得到答案，现在我们在x层已经用了一次了，那么就只剩下x-1步了。

所以我们选择x+(x-1)层，如果碎了，我们就能通过x-2步，遍历x+1 ~ x+(x-1)-1的所有楼层。

依次类推。

如果在x+(x-1)楼碎了，那么同1，遍历x+1~x+(x-1)-1
如果没碎，那么同2，就在x+(x-1)+(x-2)层摔

.....................................

可以看到，每次我们增加的楼层都是前一次减1.所以我们还要保证的就是应该在增加的层数变成0之前到顶楼，

所以有： x+(x-1)+…+1≥100

等差数列求和之后可以化简为 x^2+x-200≥0 解出来 x是14

显然 14比我们二分的最坏情况50次要少这就是正确答案。

那么现在跳出我们假设的题目推一下普适的方法

n个鸡蛋，m层楼

f[ n ][ m ]代表 最坏的情况下，找到鸡蛋的耐摔度需要的最小次数

状态转移方程为：f[n][m] = min { 1 + max ( f [ n-1 ][ k-1 ] , f [ n ][ m-k ] ) } k属于[1,m-1]

为什么是这样呢？

我们一层一层来看先看内层

max ( f [ n-1 ][ k-1 ] , f [ n ][ m-k ] )

n个鸡蛋的时候，我们选择第k层往下摔

如果破了，那么手里只有n-1鸡蛋了，那么就需要测试f[n-1][k-1]楼层。

如果没破，那么手里还有n个鸡蛋，那么需要测试k+1 ~ m这些楼层。也就是f[n][m-k]。

而无论破没破都算一次测试了所以不管破没破都要 + 1

而为什么取最大值呢？因为题目说了要最坏情况所以我们取这两者中步数多的

而k怎么选呢再看总的式子

f[n][m] = min { 1 + max ( f [ n-1 ][ k-1 ] , f [ n ][ m-k ] ) } k属于[1,m-1]

k的选取范围是[1,m-1] 而我们目的是想测试次数最少所以我们在这里面选一个会使结果最小的k值所以外边枚举k，取min

至此整个思路就完成了

初始话的时候给整个二维数组都初始化为最坏情况然后dp就好了

ps：补充一点 max ( f [ n-1 ][ k-1 ] , f [ n ][ m-k ] ) 有人认为没必要选最大越高层越容易碎所以直接选低层

这是不对的要注意确实越高层越容易碎但是我们要求的是次数最小跟碎不碎没关系碎不碎都要算次数的如果你想不碎那直接从一层开始一个鸡蛋就够了所以要明白我们要求的是什么

代码：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<iostream>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int a[105][10005];
int n,m,minn;
int main(){for(int i=1;i<=100;i++){//初始化for(int j=1;j<=10000;j++){a[i][j]=j;}}scanf("%d%d",&n,&m);//n个鸡蛋  m层楼for(int i=2;i<=n;i++){for(int j=2;j<=m;j++){for(int k=1;k<=j-1;k++){a[i][j]=min(a[i][j],1+max(a[i-1][k-1],a[i][j-k]));}}}printf("%d\n",a[n][m]);
}

参考文档：

https://blog.csdn.net/wolinxuebin/article/details/47057707

http://www.cnblogs.com/Matrix_Yao/p/4793823.html