矩阵分析系统学习笔记

本系列所有文章来自东北大学韩志涛老师的矩阵分析课程学习笔记，系列如下：
矩阵分析 (一) 线性空间和线性变换
矩阵分析 (二) 内积空间
矩阵分析 (三) 矩阵的标准形
矩阵分析 (四)向量和矩阵的范数
矩阵分析 (五) 矩阵的分解
矩阵分析 (六) 矩阵的函数
矩阵分析 (七) 矩阵特征值的估计
矩阵分析 (八) 矩阵的直积

文章目录

矩阵分析系统学习笔记
- 矩阵的对角分解
- 矩阵的三角分解
- 矩阵的满秩分解
- 舒尔定理与矩阵的QR分解

矩阵的对角分解

定理5.1 AAA为正规矩阵的充要条件是：存在酉矩阵QQQ,使得：

QHAQ=Λ，Λ=diag(λ1，λ2，⋅，λn)Q^{H}AQ= \Lambda ，\Lambda =diag(\lambda_{1}，\lambda_{2}，\cdot，\lambda_{n}) QHAQ=Λ，Λ=diag(λ1，λ2，⋅，λn)

例1 设AAA是nnn阶正规矩阵，其特征值λ1\lambda_{1}λ1，λ2\lambda_{2}λ2，⋯\cdots⋯，λn\lambda_{n}λn，则：

AAA是厄米特矩阵的充要条件是：AAA的特征值全是实数；
AAA是反厄米特矩阵的充要条件是：AAA的特征值为零或纯虚数；
AAA是酉矩阵的充要条件是：AAA的每个特征值λi\lambda_{i}λi的模∣λi∣=1|\lambda_{i}|=1∣λi∣=1。

矩阵的三角分解

定义5.1：设A∈Cn×nA \in C^{n \times n}A∈Cn×n，如果存在下三角矩阵L∈Cn×nL \in C^{n \times n}L∈Cn×n和上三角矩阵R∈Cn×nR \in C^{n \times n}R∈Cn×n，使得A=LRA =LRA=LR，则称AAA可以作三角分解。
定理5.2：设可逆矩阵A∈Cn×nA \in C^{n \times n}A∈Cn×n，则AAA可以作三角分解的充要条件是AAA的所有顺序主子式不为零。
定义5.2：设A∈Cn×nA \in C^{n \times n}A∈Cn×n，

如果AAA可以分解为A=LRA =LRA=LR，其中LLL是对角线元素为1的下三角矩阵（称为单位下三角矩阵），RRR为上三角矩阵，则称之为AAA的Doolittle分解。

如果AAA可以分解成A=LRA=LRA=LR，RRR是对角线元素为1的上三角矩阵(称为单位上三角矩阵)，则称之为AAA的Crout分解。

如果AAA可以分解成A=LDRA=LDRA=LDR，其中L，D，RL，D，RL，D，R分别是单位下三角矩阵、对角矩阵、单位上三角矩阵，则称之为AAA的LDR分解。

如果A∈Cn×nA \in C^{n \times n}A∈Cn×n是正定的厄米特矩阵，则存在下三角矩阵GGG使得A=GGHA=GG^{H}A=GGH，称之为AAA的Cholesky分解。

矩阵的满秩分解

这一节讨论一种将矩阵分解为列满秩与行满秩矩阵的乘积。

定义5.3：设A∈Cn×nA \in C^{n \times n}A∈Cn×n，如果存在F∈Crn×rF \in C^{n \times r}_{r}F∈Crn×r，G∈Crr×nG \in C^{r \times n}_{r}G∈Crr×n，使得A=FGA=FGA=FG，则称为矩阵AAA的满秩分解。
定理5.3：设A∈Cn×nA \in C^{n \times n}A∈Cn×n，则AAA满秩分解总是存在的。

舒尔定理与矩阵的QR分解

舒尔(Schur)定理在理论上很重要，它是很多重要定理的出发点。而矩阵的QRQRQR分解在数值化代数中起着重要的作用，是计算矩阵特征值以及求解线性方程组的重要工具。

定理5.4：(舒尔定理)若A∈Cn×nA \in C^{n \times n}A∈Cn×n，则存在酉矩阵UUU，使得：

UHAU=TU^{H}AU=T UHAU=T

这里TTT是上三角矩阵，TTT的对角线上的元素都是AAA的特征值。

定理5.5：(QR分解定理)设AAA为nnn阶复矩阵，则存在酉矩阵QQQ及上三角矩阵RRR，使得：

A=QRA=QR A=QR

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