原码1位乘法

在定点计算机中，两个原码表示的数相乘的运算规则是：乘积的符号位由两数的符号按异或运算得到，而乘积的数值部分则是两个正数相乘之积。设n位被乘数和乘数用定点小数表示(定点整数也同样适用)

被乘数 [x]原 = xf .x0 x1 x2 … xn        

乘数   [y]原 = yf .y0 y1 y2 … yn

则

乘积   [ z ]原 = ( xf⊕yf ) . (0. x0 x1 x2 …xn)(0 . y1 y2 …yn)

式中，xf为被乘数符号，yf为乘数符号。

乘积符号的运算法则是：同号相乘为正，异号相乘为负。由于被乘数和乘数和符号组合只有四种情况(xf yf = 00，01，10，11),因此积的符号可按“异或”(按位加)运算得到。

数值部分的运算方法与普通的十进制小数乘法相类似，不过对于用二进制表达的数来说，其乘法规则更为简单一些：从乘法y的最低位开始，若这一位为“1”，则将被乘数x写下；若这一位为“0”，则写下全0。然后再对乘数y的高一位进行的乘法运算，其规则同上，不过这一位乘数的权与最低位乘数的权不一样，因此被乘数x要左移一位。依次类推，直到乘数各位乘完为止，最后将它们统统加起来，便得到最后乘积z 。

设 x = 0.1011，y = 0.1101,让我们先用习惯方法求其乘积，其过程如下：

×

0.

1

1

0

1

(x)

0.

1

0

1

1

(y)

+

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0.

1

0

0

0

1

1

1

1

(z)

如果被乘数和乘数用定点整数表示，我们也会得到同样的结果。但是，但是人们习惯的算法对机器并不完全适用。原因之一，机器通常只有n位长，两个n位数相乘，乘积可能为2n位。原因之二，只有两个操作数相加的加法器，难以胜任将n个位积一次相加起来的运算。为了简化结构，机器通常只有n位长，并且只有两个操作数相加的加法器。为此，必须修改上述乘法的实现方法，将 x · y 改写成适于如下定点机的形式：

一般而言，设被乘数 x 、乘数 y 都是小于 1 的 n 位定点正数：

x = 0 . x1 x2 … xn   ；   y = 0 . y1 y2 … yn

其乘积为

x · y =  x · ( 0.y1y2 … yn )

= x · ( y1 2 -1 + y2 2 -2 + … + yn 2 -n)

= 2 -1( y1x + 2-1( y2 x + 2-1 (… + 2-1 ( yn-1 x + )…))

令 zi 表示第 i 次部分积，则上式可写成如下递推公式：

z0 = 0

z1 = 2-1( ynx + z0)

　…

zi = 2-1( yn-i+1x + zi-1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　          (2.3.2)

　…

zn = x·y = 2-1( y1x + zn-1)

显然，欲求x·y，则需设置一个保存部分积的累加器。乘法开始时，令部分积的初值z0 = 0，然后求加上ynx，右移1位得第1个部分积，又将加上yn - 1x，再右移1位得第2个部分积。依此类推，直到求得y1x加上zn-1并右移1位得最后部分积，即得x·y。显然，两个n位数相乘，需重复进行n次“加”及“右移”操作，才能得到最后乘积。这就是实现原码一位乘法的规则。

【例 】  x  = 0.1101， y = 0.1011，用原码一位乘法计算 x · y  = ？

[解:]       求解过程如下：            Flash演示   

部分积

乘数

说明

00.0000

yf

1

0

1

1

z0 = 0

+

00.1101

y4 = 1，+ x

00.1101

→

00.0110

1

yf

1

0

1

右移，得z1

+

00.1101

Y3 = 1，+ x

01.0011

→

00.1001

1

1

yf

1

0

右移，得z2

+

00.0000

Y2 = 0，+0

00.1001

→

00.0100

1

1

1

yf

1

右移，得z3

+

00.1101

Y1 = 1，+ x

01.0001

→

00.1000

1

1

1

1

yf

右移，得z3 = xy

所以                        x · y  = 0.10001111

图2-7 为实现原码一位乘法的硬件逻辑原理图。这里有三个寄存器，其中 R0 存放部分积z，在乘法开始 R0 前应清“0”，

保证 z0 = 0，R1 寄存器存放乘数 y ，R2寄存器存放被乘数 x 。由于乘法开始时先从乘数的最

低位 yn 开始，以后则使用yn - 1，yn - 2，…，y1，因此乘数寄存器 R1 应当是具有右移功能的移位寄存器。

假定加法器不具备右移功能，那么由于部分积需要右移，R0 也应当是具有右移功能的移位寄存器。

图2-7        原码一位乘法逻辑结构原理图

除了三个寄存器 R0，R1，R2 外，还需一个加法器和一个计数器，前者完成部分积与位积的累加，后者对移位的次数进行计数，以便判断乘法运算是否结束。

乘法开始时，“启动”信号使控制触发器 Cx 置“1”，于是开启时序脉冲 T 。当乘数寄存器 R0 最末位为“1”时，部分积 z 和被乘数 x 在加法器中相加，其结果输出至 R0 的输入端，一旦打入控制脉冲 T，控制信号 LDR0 使部分积右移 1 位，与此同时，乘数寄存器 R1 也在控制信号 LDR1 作用下右移一位，且计数器i计数 1 次。当计数器 i = n 时，计数器i的溢出信号使控制触发器 Cx 置“0”，关闭时序脉冲T，乘法操作结束。如果将 R0 和 R1 连接起来，乘法结束时乘积的高 n 位部分在 R0 ，低 n 位部分在 R1 ，R1 中原来的乘数y由于右移而全部丢失，乘积为 2n+1 位，其中包括 1 位符号位。

　　　　　　　

补码1位乘法

原码乘法的主要问题是符号位不能参加运算，单独用一个异或门产生乘积的符号位。故自然提出能否让符号数字化后也参加乘法运算，补码乘法就可以实现符号位直接参加运算。

为了得到补码一位乘法的规律，先从补码和真值的转换公式开始讨论。

1．  补码与真值的转换公式

设　[x]补 = x0 . x1x2…xn　，有：

               n                  (2.3.3)
x = - x0＋∑  xi2-i     
               i＝1 

等式左边 x 为真值。此公式说明真值和补码之间的关系。

2.  补码的右移

正数右移一位，相当于乘1/2(即除2)。负数用补码表示时，右移一位也相当于乘1/2。因此，在补码运算的机器中，一个数不论其正负，连同符号位向右移一位，若符号位保持不变，就等于乘1/2。

3.  补码乘法规则

设被乘数 [x]补 = x0.x1x2…xn 和乘数 [y]补 = y0.y1y2…yn 均为任意符号，则有补码乘法算式

                                         n (2.3.4)
  [ x · y ]补 = [x]补 ·  ( - y0 ＋ ∑ yi2-i )
                                                     i＝1 

为了推出串行逻辑实现人分步算法，将上式展开加以变换：

[x·y]补   = [x]补·[ - y0 + y12-1 + y22-2 + … + yn2-n]

= [x]补·[ - y0 + (y1 - y12-1) + (y22-1 - y22-2) + … + (yn2-(n-1) - yn2-n)]

= [x]补·[(y1 - y0) + (y2 - y1) 2-1 + … + (yn - yn-1) 2-(n-1) + (0 - yn)2-n]

= [x]补·            (yn+1  =  0)

写成递推公式如下：

[ z0 ]补 = 0

[ z1 ]补 = 2 -1{ [ z0 ]补 +  (  yn+1 - yn ) [x]补 }           (yn+1  =  0)

…

[ zi ]补 = 2 -1{ [ zi-1 ]补 +  ( yn-i+2 - yn-i+1 ) [x]补 }             (2.3.5)

…

[ zn ]补 = 2 -1{ [ zn-1 ]补 +  ( y2 - y1 ) [x]补 }

[ zn+1 ]补 = [ zn ]补 +  (  y1 - y0 ) [x]补 = [ x · y ]补 

开始时，部分积为 0，即 [z0]补 = 0。然后每一步都是在前次部分积的基础上，由 (  yi+1  -  yi  ) ( i = 0，1，2，…，n) 决定对[x]补的操作，再右移一位，得到新的部分积。如此重复 n + 1步，最后一步不移位，便得到 [ x · y ]补 ，这就是有名的布斯公式。

实现这种补码乘法规则时，在乘数最末位后面要增加一位补充位 yn+1 。开始时，由 ynyn+1 判断第一步该怎么操作；然后再由 yn - 1 yn 判断第二步该怎么操作。因为每做一步要右移一位，故做完第一步后， yn - 1 yn 正好移到原来 ynyn+1 的位置上。依此类推，每步都要用 ynyn+ 1 位置进行判断，我们将这两位称为判断位。

如果判断位 ynyn+1 = 01，则 yi+1  …  yi  = 1，做加[x]补操作；如果判断位 yn yn+1 = 10，则 yi+1 … yi  =  - 1，做加[ - x]补 操作；如果判断位 yn yn+1 = 11 或 00，则 yi+1… yi  = 0，[ zi ] 加0，即保持不变。

4. 补码一位乘法运算规则

(1) 如果 yn = yn+1，部分积 [ zi ] 加0，再右移一位；

(2) 如果 yn yn+1 = 01，部分积加[ x ]补，再右移一位；

(3) 如果 yn yn+1 = 10，部分积加[ - x]补，再右移一位；

这样重复进行 n+1 步，但最后一步不移位。包括一位符号位，所得乘积为 2n+1 位，其中 n 为尾数位数。

【例 】  x  = 0.1101， y = 0.1011，用补码一位乘法计算 x · y  = ？

[解:]     求解过程如下：             Flash演示       

部分积

乘数

说明

00.0000

0.

1

0

1

1

0

yn+1  =  0

+

11.0011

ynyn+1 = 10，加[-x]补

11.0011

→

11.1001

1

0

1

0

1

1

右移一位

+

00.0000

ynyn+1 = 10，加0

11.1001

→

11.1100

1

1

0

1

0

1

右移一位

+

00.1101

ynyn+1 = 01，加[x]补

00.1001

→

00.0100

1

1

1

0f

1

0

右移一位

+

11.0011

ynyn+1 = 01，加[-x]补

11.0111

→

11.1011

1

1

1

1

0

1

右移一位

+

00.1101

ynyn+1 = 01，加[x]补

00.1000

1

1

1

1

0

1

最后一步不移位

所以                        [x · y]补  = 0.10001111

图2-8        补码一位乘法逻辑原理图

实现一位补码乘法的逻辑原理图如图 2-8 所示，它与一位原码乘法的逻辑结构非常类似，所不同的有以下几点：

(1) 被乘数的符号和乘数的符号都参加运算。

(2) 乘数寄存器 R1 有附加位 yn+1 ，其初始状态为“0”。当乘数和部分积每次右移时，部分积最低位移至 R1 的首位位置，故 R1 必须是具有右移功能的寄存器。

(3) 被乘数寄存器 R2 的每一位用原码(即触发器 Q 端)或反码(即触发器 Q 端)经多路开关传送到加法器对应位的一个输入端，而开关的控制位由和 yn 的 yn+1 输出译码器产生。当ynyn+1 = 01时，送[x]补 ；当 ynyn+1 = 10 时，送[-x]补，即送的反码且在加法器最末位上加“1”。

(4) R0 保存部分积，它也是具有右移功能的移位寄存器，其符号位与加法器 ∑f 符号位始终一致。

(5) 当计数器 i  =  n +1 时，封锁 LD R0 和 LD R1 控制信号，使最后一位不移位。

执行补码一位乘法的总时间为

  tm = ( n + 1 ) ta + ntr   (2.3.6)

其中 n 为尾数位数，ta 为执行一次加法操作的时间，tr 为执行一次移位操作的时间。如果加法操作和移位操作同时进行，则tr 项可省略。　　　　　　　　　　　

原码1位乘法

在定点计算机中，两个原码表示的数相乘的运算规则是：乘积的符号位由两数的符号按异或运算得到，而乘积的数值部分则是两个正数相乘之积。设n位被乘数和乘数用定点小数表示(定点整数也同样适用)

被乘数 [x]原 = xf .x0 x1 x2 … xn        

乘数   [y]原 = yf .y0 y1 y2 … yn

则

乘积   [ z ]原 = ( xf⊕yf ) . (0. x0 x1 x2 …xn)(0 . y1 y2 …yn)

式中，xf为被乘数符号，yf为乘数符号。

乘积符号的运算法则是：同号相乘为正，异号相乘为负。由于被乘数和乘数和符号组合只有四种情况(xf yf = 00，01，10，11),因此积的符号可按“异或”(按位加)运算得到。

数值部分的运算方法与普通的十进制小数乘法相类似，不过对于用二进制表达的数来说，其乘法规则更为简单一些：从乘法y的最低位开始，若这一位为“1”，则将被乘数x写下；若这一位为“0”，则写下全0。然后再对乘数y的高一位进行的乘法运算，其规则同上，不过这一位乘数的权与最低位乘数的权不一样，因此被乘数x要左移一位。依次类推，直到乘数各位乘完为止，最后将它们统统加起来，便得到最后乘积z 。

设 x = 0.1011，y = 0.1101,让我们先用习惯方法求其乘积，其过程如下：

×

0.

1

1

0

1

(x)

0.

1

0

1

1

(y)

+

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0.

1

0

0

0

1

1

1

1

(z)

如果被乘数和乘数用定点整数表示，我们也会得到同样的结果。但是，但是人们习惯的算法对机器并不完全适用。原因之一，机器通常只有n位长，两个n位数相乘，乘积可能为2n位。原因之二，只有两个操作数相加的加法器，难以胜任将n个位积一次相加起来的运算。为了简化结构，机器通常只有n位长，并且只有两个操作数相加的加法器。为此，必须修改上述乘法的实现方法，将 x · y 改写成适于如下定点机的形式：

一般而言，设被乘数 x 、乘数 y 都是小于 1 的 n 位定点正数：

x = 0 . x1 x2 … xn   ；   y = 0 . y1 y2 … yn

其乘积为

x · y =  x · ( 0.y1y2 … yn )

= x · ( y1 2 -1 + y2 2 -2 + … + yn 2 -n)

= 2 -1( y1x + 2-1( y2 x + 2-1 (… + 2-1 ( yn-1 x + )…))

令 zi 表示第 i 次部分积，则上式可写成如下递推公式：

z0 = 0

z1 = 2-1( ynx + z0)

　…

zi = 2-1( yn-i+1x + zi-1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　          (2.3.2)

　…

zn = x·y = 2-1( y1x + zn-1)

显然，欲求x·y，则需设置一个保存部分积的累加器。乘法开始时，令部分积的初值z0 = 0，然后求加上ynx，右移1位得第1个部分积，又将加上yn - 1x，再右移1位得第2个部分积。依此类推，直到求得y1x加上zn-1并右移1位得最后部分积，即得x·y。显然，两个n位数相乘，需重复进行n次“加”及“右移”操作，才能得到最后乘积。这就是实现原码一位乘法的规则。

【例 】  x  = 0.1101， y = 0.1011，用原码一位乘法计算 x · y  = ？

[解:]       求解过程如下：            Flash演示   

部分积

乘数

说明

00.0000

yf

1

0

1

1

z0 = 0

+

00.1101

y4 = 1，+ x

00.1101

→

00.0110

1

yf

1

0

1

右移，得z1

+

00.1101

Y3 = 1，+ x

01.0011

→

00.1001

1

1

yf

1

0

右移，得z2

+

00.0000

Y2 = 0，+0

00.1001

→

00.0100

1

1

1

yf

1

右移，得z3

+

00.1101

Y1 = 1，+ x

01.0001

→

00.1000

1

1

1

1

yf

右移，得z3 = xy

所以                        x · y  = 0.10001111

图2-7 为实现原码一位乘法的硬件逻辑原理图。这里有三个寄存器，其中 R0 存放部分积z，在乘法开始 R0 前应清“0”，

保证 z0 = 0，R1 寄存器存放乘数 y ，R2寄存器存放被乘数 x 。由于乘法开始时先从乘数的最

低位 yn 开始，以后则使用yn - 1，yn - 2，…，y1，因此乘数寄存器 R1 应当是具有右移功能的移位寄存器。

假定加法器不具备右移功能，那么由于部分积需要右移，R0 也应当是具有右移功能的移位寄存器。

图2-7        原码一位乘法逻辑结构原理图

除了三个寄存器 R0，R1，R2 外，还需一个加法器和一个计数器，前者完成部分积与位积的累加，后者对移位的次数进行计数，以便判断乘法运算是否结束。

乘法开始时，“启动”信号使控制触发器 Cx 置“1”，于是开启时序脉冲 T 。当乘数寄存器 R0 最末位为“1”时，部分积 z 和被乘数 x 在加法器中相加，其结果输出至 R0 的输入端，一旦打入控制脉冲 T，控制信号 LDR0 使部分积右移 1 位，与此同时，乘数寄存器 R1 也在控制信号 LDR1 作用下右移一位，且计数器i计数 1 次。当计数器 i = n 时，计数器i的溢出信号使控制触发器 Cx 置“0”，关闭时序脉冲T，乘法操作结束。如果将 R0 和 R1 连接起来，乘法结束时乘积的高 n 位部分在 R0 ，低 n 位部分在 R1 ，R1 中原来的乘数y由于右移而全部丢失，乘积为 2n+1 位，其中包括 1 位符号位。

　　　　　　　

补码1位乘法

原码乘法的主要问题是符号位不能参加运算，单独用一个异或门产生乘积的符号位。故自然提出能否让符号数字化后也参加乘法运算，补码乘法就可以实现符号位直接参加运算。

为了得到补码一位乘法的规律，先从补码和真值的转换公式开始讨论。

1．  补码与真值的转换公式

设　[x]补 = x0 . x1x2…xn　，有：

               n                  (2.3.3)
x = - x0＋∑  xi2-i     
               i＝1 

等式左边 x 为真值。此公式说明真值和补码之间的关系。

2.  补码的右移

正数右移一位，相当于乘1/2(即除2)。负数用补码表示时，右移一位也相当于乘1/2。因此，在补码运算的机器中，一个数不论其正负，连同符号位向右移一位，若符号位保持不变，就等于乘1/2。

3.  补码乘法规则

设被乘数 [x]补 = x0.x1x2…xn 和乘数 [y]补 = y0.y1y2…yn 均为任意符号，则有补码乘法算式

                                         n (2.3.4)
  [ x · y ]补 = [x]补 ·  ( - y0 ＋ ∑ yi2-i )
                                                     i＝1 

为了推出串行逻辑实现人分步算法，将上式展开加以变换：

[x·y]补   = [x]补·[ - y0 + y12-1 + y22-2 + … + yn2-n]

= [x]补·[ - y0 + (y1 - y12-1) + (y22-1 - y22-2) + … + (yn2-(n-1) - yn2-n)]

= [x]补·[(y1 - y0) + (y2 - y1) 2-1 + … + (yn - yn-1) 2-(n-1) + (0 - yn)2-n]

= [x]补·            (yn+1  =  0)

写成递推公式如下：

[ z0 ]补 = 0

[ z1 ]补 = 2 -1{ [ z0 ]补 +  (  yn+1 - yn ) [x]补 }           (yn+1  =  0)

…

[ zi ]补 = 2 -1{ [ zi-1 ]补 +  ( yn-i+2 - yn-i+1 ) [x]补 }             (2.3.5)

…

[ zn ]补 = 2 -1{ [ zn-1 ]补 +  ( y2 - y1 ) [x]补 }

[ zn+1 ]补 = [ zn ]补 +  (  y1 - y0 ) [x]补 = [ x · y ]补 

开始时，部分积为 0，即 [z0]补 = 0。然后每一步都是在前次部分积的基础上，由 (  yi+1  -  yi  ) ( i = 0，1，2，…，n) 决定对[x]补的操作，再右移一位，得到新的部分积。如此重复 n + 1步，最后一步不移位，便得到 [ x · y ]补 ，这就是有名的布斯公式。

实现这种补码乘法规则时，在乘数最末位后面要增加一位补充位 yn+1 。开始时，由 ynyn+1 判断第一步该怎么操作；然后再由 yn - 1 yn 判断第二步该怎么操作。因为每做一步要右移一位，故做完第一步后， yn - 1 yn 正好移到原来 ynyn+1 的位置上。依此类推，每步都要用 ynyn+ 1 位置进行判断，我们将这两位称为判断位。

如果判断位 ynyn+1 = 01，则 yi+1  …  yi  = 1，做加[x]补操作；如果判断位 yn yn+1 = 10，则 yi+1 … yi  =  - 1，做加[ - x]补 操作；如果判断位 yn yn+1 = 11 或 00，则 yi+1… yi  = 0，[ zi ] 加0，即保持不变。

4. 补码一位乘法运算规则

(1) 如果 yn = yn+1，部分积 [ zi ] 加0，再右移一位；

(2) 如果 yn yn+1 = 01，部分积加[ x ]补，再右移一位；

(3) 如果 yn yn+1 = 10，部分积加[ - x]补，再右移一位；

这样重复进行 n+1 步，但最后一步不移位。包括一位符号位，所得乘积为 2n+1 位，其中 n 为尾数位数。

【例 】  x  = 0.1101， y = 0.1011，用补码一位乘法计算 x · y  = ？

[解:]     求解过程如下：             Flash演示       

部分积

乘数

说明

00.0000

0.

1

0

1

1

0

yn+1  =  0

+

11.0011

ynyn+1 = 10，加[-x]补

11.0011

→

11.1001

1

0

1

0

1

1

右移一位

+

00.0000

ynyn+1 = 10，加0

11.1001

→

11.1100

1

1

0

1

0

1

右移一位

+

00.1101

ynyn+1 = 01，加[x]补

00.1001

→

00.0100

1

1

1

0f

1

0

右移一位

+

11.0011

ynyn+1 = 01，加[-x]补

11.0111

→

11.1011

1

1

1

1

0

1

右移一位

+

00.1101

ynyn+1 = 01，加[x]补

00.1000

1

1

1

1

0

1

最后一步不移位

所以                        [x · y]补  = 0.10001111

图2-8        补码一位乘法逻辑原理图

实现一位补码乘法的逻辑原理图如图 2-8 所示，它与一位原码乘法的逻辑结构非常类似，所不同的有以下几点：

(1) 被乘数的符号和乘数的符号都参加运算。

(2) 乘数寄存器 R1 有附加位 yn+1 ，其初始状态为“0”。当乘数和部分积每次右移时，部分积最低位移至 R1 的首位位置，故 R1 必须是具有右移功能的寄存器。

(3) 被乘数寄存器 R2 的每一位用原码(即触发器 Q 端)或反码(即触发器 Q 端)经多路开关传送到加法器对应位的一个输入端，而开关的控制位由和 yn 的 yn+1 输出译码器产生。当ynyn+1 = 01时，送[x]补 ；当 ynyn+1 = 10 时，送[-x]补，即送的反码且在加法器最末位上加“1”。

(4) R0 保存部分积，它也是具有右移功能的移位寄存器，其符号位与加法器 ∑f 符号位始终一致。

(5) 当计数器 i  =  n +1 时，封锁 LD R0 和 LD R1 控制信号，使最后一位不移位。

执行补码一位乘法的总时间为

  tm = ( n + 1 ) ta + ntr   (2.3.6)

其中 n 为尾数位数，ta 为执行一次加法操作的时间，tr 为执行一次移位操作的时间。如果加法操作和移位操作同时进行，则tr 项可省略。　　　　　　　　　　　

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