【计算理论】下推自动机 PDA ( 上下文无关语言 CFL 的泵引理 | 泵引理反证示例

文章目录

I . 上下文无关语言 ( CFL ) 的泵引理 ( Pumping Lemma )
II . 上下文无关语言 ( CFL ) 的泵引理 ( Pumping Lemma ) 示例
III . 自动机扩展

I . 上下文无关语言 ( CFL ) 的泵引理 ( Pumping Lemma )

有些语言在上下文无关语法与下推自动机计算能力之外 ;

通过上下文无关语言 ( CFL ) 的 Pumping Lemma ( 泵引理 ) 可以证明上述命题 ;

( 证明的不是充要条件 , 只证明必要条件 )

上下文无关语言 ( CFL ) 的泵引理 ( Pumping Lemma ) :

假设 AAA 是上下文无关的语言 ( CFL ) , 一定会存在一个泵长度 ( Pumping Length ) ppp , 使得 AAA 语言中的字符串长度都大于等于 ppp , AAA 语言中的每个字符串都可以被分为 S=uvxyzS = uvxyzS=uvxyz 五个部分 , 满足下面 333 个条件 :

① i≥0i \geq 0i≥0 , uvixyiz∈Auv^i xy ^iz \in Auvixyiz∈A ; 其中 viv^ivi 表示 iii 个 vvv 串联在一起 , 如 v3v^3v3 就是 vvvvvvvvv ;
② ∣vy∣≥0|vy| \geq 0∣vy∣≥0 ;
③ ∣vxy∣≤p|vxy| \leq p∣vxy∣≤p ;

这是一个必要条件 , 如果某语言是上下文无关语言 , 那么符合上述要求 ; 反过来 , 如果不符合上述要求 , 什么都不能代表 , 该语言可能是 CFL , 也可能不是 CFL ;

如果证明某语言不是上下文无关语言 ( CFL ) , 先假设该语言是 CFL , 假如不符合上述 333 条件 , 说明假设不成立 , 该语言不是 CFL ;

正则表达式也有一个泵引理 , 注意区分 ;

II . 上下文无关语言 ( CFL ) 的泵引理 ( Pumping Lemma ) 示例

使用上下文无关语言 ( CFL ) 的泵引理 ( Pumping Lemma ) 证明

C={ww∣w∈{0,1}∗}C = \{ ww | w \in \{0,1\}^* \}C={ww∣w∈{0,1}∗}

不是上下文无关语言 ( CFL ) ;

1 . 假设 : 假设 CCC 是上下文无关语言 ( CFL ) ;

2 . 泵长度 : 根据泵引理 , 存在一个泵长度 ppp ;

3 . SSS 是语言 CCC 的字符串 : S=0p1p0p1pS = 0^p 1^p 0^p 1^pS=0p1p0p1p ;

4 . 泵引理 :

① i≥0i \geq 0i≥0 , uvixyiz∈Auv^i xy ^iz \in Auvixyiz∈A ; 其中 viv^ivi 表示 iii 个 vvv 串联在一起 , 如 v3v^3v3 就是 vvvvvvvvv ;
② ∣vy∣≥0|vy| \geq 0∣vy∣≥0 ;
③ ∣vxy∣≤p|vxy| \leq p∣vxy∣≤p ;

5 . 根据泵引理 , 将其分为 555 部分 :

S=0p1p0p1p=uvxyzS = 0^p 1^p 0^p 1^p = uvxyzS=0p1p0p1p=uvxyz

其中 ∣vxy∣≤p|vxy| \leq p∣vxy∣≤p ;

6 . vvv 和 yyy 相等的情况讨论 :

其中 vvv 和 yyy 不能同时是 000 或 111 , 如果 vyvyvy 同时是一个数 ( 000 或 111 ) , 如果重复 vvv 和 yyy 部分 , 该重复的数字会增多 , 如 000 增多 , 111 没有增多 , 导致字符串不符合语言的要求 ;

因此 vvv 和 yyy 必须是不同的字符 , 一个是 000 一个是 111 ;

7 . vvv 和 yyy 取值不等并处于中间的 101010 之间的情况讨论 :

如果 vvv 和 yyy 处于中间的 111 和 000 之间 , 那么 vvv 和 yyy 同时增加后 , 第一个 000 与第三个 000 个数不再相等 , 第二个 111 与第四个 111 个数不再相等 , 不符合语言要求 ;

8 . vvv 和 yyy 取值不等并处于左侧的 010101 之间的情况讨论 :

如果 vvv 和 yyy 处于左侧的 000 和 111 之间 , 那么 vvv 和 yyy 同时增加后 , 第一个 000 与第三个 000 个数不再相等 , 第二个 111 与第四个 111 个数不再相等 , 不符合语言要求 ;

9 . vvv 和 yyy 取值不等并处于右侧的 010101 之间的情况讨论 :

如果 vvv 和 yyy 处于右侧的 000 和 111 之间 , 那么 vvv 和 yyy 同时增加后 , 第一个 000 与第三个 000 个数不再相等 , 第二个 111 与第四个 111 个数不再相等 , 不符合语言要求 ;

10 . 结论 :

因此该字符串不满足上下文无关语言 ( CFL ) 的泵引理 ;

假设不成立 , 因此该语言 CCC 不是上下文无关语言 ;

引申 : 下推自动机之所以无法识别 CCC 这个语言 , 是因为下推自动机的栈是后进先出的 , 先入栈的字符 , 后出来 , 这样就使得前后相等的字符串无法识别 , 镜面反射的字符串可以被识别 , 如果将栈替换成先进先出的队列 , 那么就可以识别语言 CCC 了 ;

III . 自动机扩展

1 . 确定性优先自动机 ( DFA ) 最小化 : 确定性有限自动机 ( DFA ) 有算法可以将其最小化 , 可以找到一个最小的确定性优先自动机与原来的确定性有限自动机 ( CFG ) 等价 ;

( 等价的确定性有限自动机 DFA 所识别的语言是相同的 )

2 . 下推自动机 ( PDA ) 无法最小化 , 也无法做等价判定 ;

给定一个下推自动机 ( PDA ) , 无法优化该下推自动机 ( PDA ) , 也无法得到一个最小的下推自动机 ;

两个下推自动机 ( PDA ) 是否等价也无法进行判定 ;

3 . 语言与计算模型 :

① 正则语言 : 对应的计算模型是有限自动机 ( FA ) , 包括确定性有限自动机 ( DFA ) , 非确定性有限自动机 ( NFA ) ;

② 上下文无关语言 : 对应的计算模型是上下文无关语法 ( CFG ) , 下推自动机 ( PDA ) ;

4 . 自动机演化

① 下推自动机 ( PDA ) : 下推自动机 ( PDA ) 比确定性有限自动机 ( DFA ) 多了一个栈结构 ;

② 图灵机 : 图灵机比下推自动机多了一个栈 , 图灵机有 222 个栈结构 ;

③ 自动机扩张 : 再加一个栈 , 333 个栈的效果与 222 个栈的效果基本相同 , 大于等于 222 个栈的效果都是相同的 , 还是图灵机 ;