数据结构与算法－最小生成树之克鲁斯卡尔（Kruskal)算法

1. 算法步骤

Kruskal 算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。

1. 把图中的所有边按代价从小到大排序；

2. 把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林；

3. 按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点Ui和Vi，应属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树。重复此操作，直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。

2. 算法实例

以下是一个无向图和按权值从小到大排列的边集数组。

以下是算法实现

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
// 顶点个数的最大值
#define MAXN 11
// 边的个数的最大值
#define MAXM 20
using namespace std;
// 边
struct edge {// 边的顶点、权值int u, v, w;
// 边的数组
} edges[MAXM];  // parent[i]为顶点 i 所在集合对应的树中的根结点
int parent[MAXN];
// 顶点个数、边的个数
int n, m;
// 循环变量
int i, j; // 初始化
void UFset(){for (i = 1; i <= n; i++){parent[i] = -1;}
}
// 查找并返回节点 x 所属集合的根结点
int Find(int x){// 查找位置int s; for (s = x; parent[s] >= 0; s = parent[s]);// 优化方案 ―― 压缩路径，使后续的查找操作加速while (s != x) {int tmp = parent[x];parent[x] = s;x = tmp;}return s;
}// 将两个不同集合的元素进行合并，使两个集合中任两个元素都连通
void Union(int R1, int R2){// r1 为 R1 的根结点，r2 为 R2 的根结点int r1 = Find(R1), r2 = Find(R2);  // 两个集合结点个数之和(负数)int tmp = parent[r1] + parent[r2]; // 如果 R2 所在树结点个数 > R1 所在树结点个数(注意 parent[r1]是负数)// 优化方案 ―― 加权法则if (parent[r1] > parent[r2]){parent[r1] = r2;parent[r2] = tmp;}else{parent[r2] = r1;parent[r1] = tmp;}
}
// 实现从小到大排序的比较函数
bool cmp(edge a, edge b){return a.w <= b.w;
}void Kruskal(){// 生成树的权值int weight = 0; // 已选用的边的数目int num = 0; // 选用边的两个顶点     int u, v; // 初始化 parent[]数组         UFset();           for (i = 0; i < m; i++){u = edges[i].u;v = edges[i].v;if (Find(u) != Find(v)){printf("%d %d %d\n", u, v, edges[i].w);weight += edges[i].w;num++;Union(u, v);};if (num >= n - 1){break;}};printf("weight of MST is %d\n", weight);
}
int main(){// 边的起点和终点及权值int u, v, w;   // 读入顶点个数 n        scanf("%d%d", &n, &m); for (int i = 0; i < m; i++){// 读入边的起点和终点scanf("%d%d%d", &u, &v, &w); edges[i].u = u;edges[i].v = v;edges[i].w = w;}sort(edges, edges + m, cmp);Kruskal();return 0;
}

克鲁斯卡尔算法采用快排则时间复杂度为O(N log N)

对比普里姆和克鲁斯卡尔算法，普里姆算法对于稠密图，即边数非常多的情况下更好一些；而克鲁斯卡尔算法主要针对边来展开，边数少时效率比较高，所以对于稀疏图有较大的优势。

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