动态规划：最长子序列问题

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1.基本概念

首先需要科普一下，最长公共子序列（longest common sequence）和最长公共子串（longest common substring）不是一回事儿。什么是子序列呢？即一个给定的序列的子序列，就是将给定序列中零个或多个元素去掉之后得到的结果。什么是子串呢？给定串中任意个连续的字符组成的子序列称为该串的子串。给一个图再解释一下：

如上图，给定的字符序列： {a,b,c,d,e,f,g,h}，它的子序列示例： {a,c,e,f} 即元素b,d,g,h被去掉后，保持原有的元素序列所得到的结果就是子序列。同理，{a,h},{c,d,e}等都是它的子序列。

它的字串示例：{c,d,e,f} 即连续元素c,d,e,f组成的串是给定序列的字串。同理，{a,b,c,d},{g,h}等都是它的字串。

这个问题说明白后，最长公共子序列（以下都简称LCS）就很好理解了。
给定序列s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}，s1和s2的相同子序列，且该子序列的长度最长，即是LCS。

s1和s2的其中一个最长公共子序列是 {3,4,6,7,8}

2.特征分析

   解决LCS问题，需要把原问题分解成若干个子问题，所以需要刻画LCS的特征。

    以例子（S1={1,3,4,5,6,7,7,8}和S2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}），并结合上图来说：假如S1的最后一个元素 与 S2的最后一个元素相等，那么S1和S2的LCS就等于 {S1减去最后一个元素} 与 {S2减去最后一个元素} 的 LCS  再加上 S1和S2相等的最后一个元素。假如S1的最后一个元素 与 S2的最后一个元素不等（本例子就是属于这种情况），那么S1和S2的LCS就等于 ： {S1减去最后一个元素} 与 S2 的LCS， {S2减去最后一个元素} 与 S1 的LCS 中的最大的那个序列。这就是所谓的用动态规划解决最长子序列的状态转移方程的由来，很多文章并没有解释，使得很多同学不清不楚。我们假设dp[i][j]表示序列a中从0到i，以及序列b中从0到j这两段序列的最长子序列。于是根据上面分析：if(a[i]==b[j]){dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;}elsedp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);

计算LCS的长度

还是以s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}为例。

结果

至此，该表填完。根据性质，c[8,9] = S1 和 S2 的 LCS的长度，即为5。

输出最长子序列内容

上面我们只是得到了最长子序列的长度，如果要得到具体的内容，我们可以逆推回去。

我们根据递归公式构建了上表，我们将从最后一个元素c[8][9]倒推出S1和S2的LCS。
c[8][9] = 5，且S1[8] != S2[9]，所以倒推回去，c[8][9]的值来源于c[8][8]的值(因为c[8][8] > c[7][9])。
c[8][8] = 5, 且S1[8] = S2[8], 所以倒推回去，c[8][8]的值来源于 c[7][7]。
以此类推，如果遇到S1[i] != S2[j] ，且c[i-1][j] = c[i][j-1] 这种存在分支的情况，这里请都选择一个方向（之后遇到这样的情况，也选择相同的方向）。

第一种结果为：

这就是倒推回去的路径，棕色方格为相等元素，即LCS = {3,4,6,7,8}，这是其中一个结果。

即LCS ={3,5,7,7,8}。