最长子序列DP和二分法

输入一串数字例如: 5 6 8 1 3 4 9

输出最长递增子序列长度，示例中即 1 3 4 9或5 6 8 9 ，最大长度为4

public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);// 几个数字int num = sc.nextInt();// 读取数字int[] arr = new int[num];for (int i = 0; i < num; i++) {arr[i] = sc.nextInt();}// 动态规划dp O(n^2)dp(arr);//二分实现 O(nlog2n)//binarySearch(arr);}

DP实现复杂度O(n^2)

思路就是双循环，设value[i]为元素arr[i]结尾的子序列的最大长度 , 循环元素i前边的值arr[0- j-1]，value[i] = Max(value[i], value[j] + 1); 0<=j<i;

   /*** 动态规划解决，复杂度n2* @param arr*/private static void dp(int[] arr) {int maxLength = 0;// 数组元素value[i]表示以arr[i]为子序列最后一位时，递增子序列的最大长度int[] value = new int[arr.length];// 每次循环获取 以arr[i]为子序列最后一位时，递增子序列最大长度for (int i = 0; i < arr.length; i++) {// 默认都是长度1value[i] = 1;// 循环前i - 1 位value[]，找出最大递增序列长度maxvalue，则value[i] = maxvalue + 1;for (int j = 0; j < i; j++) {if (arr[i] > arr[j]) {value[i] = Math.max(value[j] + 1, value[i]);}}// 找出最大的那个maxLength = Math.max(maxLength, value[i]);}System.out.println(maxLength);}

二分查找优化 O(nlog2n)

在动态规划中，内层循环中循环0到i - 1来获取最大的递增序列长度+1，可否换成二分查找log2n来优化呢？但是arr数组是无序的，无法二分查找，需要换种思路

设当前已经求出的最长上升子序列长度为maxLength，声明一个数组value，value[maxLength]表示maxLength长度的子序列最后一位的值
大致流程：第一个数arr[0]本身就是个子序列，把arr[0]放入value[1]，此时最大长度maxLength=1;
接下来的数arr[i]需判断
1、如果比当前value[maxLength]大，那么表示把arr[i]续到value[maxLength]后可以得到一个更长的子序列，即maxLength++; value[maxLength] = arr[i];
2、如果比当前value[maxLength]小，那么得从前maxLength个数中找到一个位置j，满足 value[j-1] < arr[i] <= value[j]; 即第一个大于等于arr[i]的数，替换它(value[j] = arr[i])，因为此时以arr[i]为结尾的子序列比以原value[j]结尾的子序列更有“潜力”，因为更小所以有更多的可能得到成更长的子序列
从前maxLength个数中找到一个位置j的过程使用二分查找

   private static void binarySearch(int[] arr) {// 长度加1是为了好理解，value[maxLength]即表示maxLength长度的子序列最后一位的值int[] value = new int[arr.length + 1];// 初始化第一个数int maxLength = 1;value[1] = arr[0];for (int i = 1; i < arr.length; i++) {if (arr[i] > value[maxLength]) {// 大于目前最大长度的子序列的最后一位，给value[]后边续上maxLength++;value[maxLength] = arr[i];} else {// 小于目前最大长度的子序列的最后一位，查找前边部分第一个大于自身的位置// 更新它int t = find(value, maxLength, arr[i]);value[t] = arr[i];}}System.out.println(maxLength);}// 二分查找private static int find(int[] value, int maxindex, int i) {int l = 1, r = maxindex;while (l <= r) {int mid = (l + r) / 2;if (i > value[mid]) {l = mid + 1;} else {r = mid - 1;}}return l;}

阿里巴巴牛客编程题

小强现在有n个物品,每个物品有x,y两种属性和.他想要从中挑出尽可能多的物品满足以下条件:对于任意两个物品 i 和 j ,满足（ i.x < j.x 且 i.y < j.y）或者（i.x > j.x 且 i.y > j.y）.问最多能挑出多少物品

第一行输入一个正整数 T.表示有T组数据.
对于每组数据,第一行输入一个正整数N.表示物品个数N.
接下来两行,每行有个N整数.
第一行表示N个节点的X属性.
第二行表示N个节点的Y属性

思路：最长上升子序列的变种，需要保证xy的同升同降，即先将所有物品按x升序排列，随后在无序的y中取一个最长上升子序列即可，同样两种解法，dp和二分，但是本题在牛客上只能二分，dp会报超时。

需要注意的是，在排序过程中，对于相同大小的x，需要将大的y排在前边，因为排在后边，因为x不递增，会导致错误的结果。例如(1,2) (1,3) (1,4)，这一组中最长子序列长度正确应为1，但将小y排在前边，所有的 y序列会算出3的错误结果。

   public static class Good implements Comparable{public int x;public int y;public Good(int xx, int yy) {x = xx;y = yy;}@Overridepublic int compareTo(Object o) {Good good = (Good) o;if (this.x > good.x) {return 1;} else if (this.x < good.x) {return -1;} else {//x相同，y大的放前边if (this.y > good.y) {return -1;} else if (this.y < good.y){return 1;}return 0;}}}public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int num = sc.nextInt();for (int i = 0; i < num; i++) {int goodsNum = sc.nextInt();int[] linearr1 = new int[goodsNum];int[] linearr2 = new int[goodsNum];for (int j = 0; j < linearr1.length; j++) {linearr1[j] = sc.nextInt();}for (int j = 0; j < linearr2.length; j++) {linearr2[j] = sc.nextInt();}sc.nextLine();Good[] goods = new Good[goodsNum];for (int j = 0; j < goods.length; j++) {goods[j] = new Good(linearr1[j], linearr2[j]);}// 按x升序排序Arrays.sort(goods);// 剩下的就是按y的排列来获取最大上升子序列长度问题，代码与上边两个简单的几乎一致// 动态规划dp O(n^2)dp(goods);// 二分查找优化 O(nlog2n)binarySearch(goods);}}private static void binarySearch(Good[] arr) {int[] value = new int[arr.length +1];int maxLength = 1;value[1] = arr[0].y;for (int i = 1; i < arr.length; i++) {if (arr[i].y > value[maxLength]) {value[++maxLength] = arr[i].y;} else {int t = find(value, maxLength, arr[i].y);value[t] = arr[i].y;}}System.out.println(maxLength);}/*** 动态规划解决，复杂度n2* @param arr*/private static void dp(Good[] arr) {int maxLength = 0;// 数组元素value[i]表示以arr[i]为子序列最后一位时，递增子序列的最大长度int[] value = new int[arr.length];// 每次循环获取 以arr[i]为子序列最后一位时，递增子序列最大长度for (int i = 0; i < arr.length; i++) {// 默认都是长度1value[i] = 1;// 循环第0位到第 i - 1 位value[]，找出最大递增序列长度maxvalue，则value[i] = maxvalue + 1;for (int j = 0; j < i; j++) {if (arr[i].y > arr[j].y) {value[i] = Math.max(value[j] + 1, value[i]);}}// 找出最大的那个maxLength = Math.max(maxLength, value[i]);}System.out.println(maxLength);}private static int find(int[] value, int maxindex, int i) {int l = 1, r = maxindex;while (l <= r) {int mid = (l + r) / 2;if (i > value[mid]) {l = mid + 1;} else {r = mid - 1;}}return l;}

参考：https://blog.csdn.net/daoshen1314/article/details/103174215

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