五大常用算法——回溯算法详解及经典例题

回溯算法

　　1.回溯算法就是一种有组织的系统最优化搜索技术，可以看作蛮力法穷举搜索的改进。回溯法常常可以避免搜索所有可能的解，所以它适用于求解组织数量较大的问题。

　　2.首先我们先了解一下一个基本概念“解空间树”：问题的解空间一般使用解空间树的方式来组织，树的根节点位于第1层，表示搜索的初始状态，依次向下排列。

　　3.解空间树的动态搜索：在搜索至树中任一节点时，先判断该节点对应的部分是否是满足约束条件，或者是否超出目标函数的界，也就是判断该节点是否包含问题的最优解。如果肯定不包含，则跳过对该节点为根的子树的搜索，即所谓的剪枝；否则，进入该节点为根的子树，继续按照深度优先策略搜索。（这也是为什么回溯可以避免搜索所有的解）

　　4.在搜索过程中，通常采用两种策略避免无效搜索：

（1）用约束条件剪除得不到的可行解的子树

　　　（2）用目标函数剪取得不到的最优解的子树

　　（这两种方式统称为：剪枝函数）

　　5.在用回溯法求解问题时，常常遇到两种典型的解空间树：

　　（1）子集树：但所有的问题是从n个元素的集合中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间树成为子集树

　　（2）排列树：当所给出问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间称为排列树。

　　6.回溯法的一般步骤：

　　（1）设置初始化的方案（给变量赋初始值，读入已知数据等）

　　（2）变换方式去试探，若全部试完侧转（7）

　　（3）判断此法是否成功（通过约束函数），不成功则转（2）

　　（4）试探成功则前进一步再试探

　　（5）正确方案还是未找到则转（2）

　　（6）以找到一种方案则记录并打印

　　（7）退回一步（回溯），若未退到头则转（2）

　　（8）已退到头则结束或打印无解

7.回溯法的优点在于其结构明确，可读性强，易于理解，而且通过对问题的分析可以大大提高运行效率。

皇后问题：

N皇后问题是指在N*N的棋盘上放置N个皇后，使这N个皇后无法吃掉对方（也就是说两两不在一行，不在一列，也不在对角线上）。经典的是8皇后问题，这里我们为了简单，以4皇后为例。

首先利用回溯算法，先给第一个皇后安排位置，如下图所示，安排在（1,1）然后给第二个皇后安排位置，可知（2,1），（2,2）都会产生冲突，因此可以安排在（2,3），然后安排第三个皇后，在第三行没有合适的位置，因此回溯到第二个皇后，重新安排第二个皇后的位置，安排到（2,4），然后安排第三个皇后到（3,2），安排第四个皇后有冲突，因此要回溯到第三个皇后，可知第三个皇后也就仅此一个位置，无处可改，故继续向上回溯到第二个皇后，也没有位置可更改，因此回溯到第一个皇后，更改第一个皇后的位置，继续上面的做法，直至找到所有皇后的位置，如下图所示。

这里为什么我们用4皇后做例子呢？因为3皇后是无解的。同时我们也可以看到回溯算法虽然也是Brute-Force，但是它可以避免去搜索很多的不可能的情况，因此算法是优于Brute-Force的。

public class NQueensII {  int[] x;//当前解    int N;//皇后个数  int sum = 0;//当前已找到的可行方案数  public int totalNQueens(int n) {  N = n;  x = new int[N+1];  backTrace(1);  return sum;  }  /** * col行这个点，x[col]列这个点，与已经存在的几个皇后，是否符合要求，放到这个位置上， * @param col * @return */  private boolean place(int col){  for(int i = 1; i < col; i++){  if(Math.abs(col - i)==Math.abs(x[col]-x[i])||x[col]==x[i]){  return false;  }  }  return true;  }  private void backTrace(int t) {  if(t>N){  sum++;  }else {  //第t行，遍历所有的节点  for(int j = 1; j <= N; j++) {  x[t] = j ;  //如果第j个节点可以放下皇后  if(place(t)){  //接着放下一个  backTrace(t+1);  }  }  }  }  public static void main(String[] args) {  NQueensII n = new NQueensII();  System.out.println(n.totalNQueens(8));  }
}

最大 k 乘积问题：

设I是一个 n 位十进制整数。如果将 I 划分为 k 段，则可得到 k 个整数。这 k 个整数的乘积称为 I 的一个 k 乘积。试设计一个算法，对于给定的 I 和 k ，求出 I 的最大 k 乘积。

import java.util.Scanner;public class 最大k乘积 {private static long ans;private static Scanner cin;static{cin = new Scanner(System.in);}static void work(int cur, int i, int k, long v){//System.out.println("i = " + i + " cur = " + cur + " k = " + k);if(i == k){ans = Math.max(ans, v);return;}if(cur == 0){return;}int MOD = 1;while(cur / MOD != 0){work(cur % MOD, i + 1, k, v * (cur / MOD));MOD *= 10;}}public static void main(String[] args) {int num, k;System.out.println("请输入数字num和要分成的段数k: ");while(cin.hasNext()){num = cin.nextInt();k = cin.nextInt();ans = Long.MIN_VALUE;work(num, 0, k, 1L);if(ans == Long.MIN_VALUE){System.out.println("整数" + num + "不能被分成" + k + "段");}else{System.out.println(num + "的最大" + k + "乘积是: " + ans);}System.out.println("请输入数字num和要分成的段数k: ");}}
}

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